He observado que muchos autores tienden a utilizar "dejar" en lugar de "para todos". Por ejemplo, escriben algo así:
Sea $n$ sea un número natural par. Entonces también $n^2$ es par.
Me pregunto por qué utilizan "let" en lugar de "for all", también en casos en los que la versión "for all" suena bastante bien:
Para todos los números naturales pares $n$ , $n^2$ es par.
Tenga en cuenta que "dejar" tiene un significado ligeramente distinto de "para todos":
La afirmación "Que $n$ sea un número natural par. Entonces también $n^2$ es par" traducido al cálculo lógico sería algo así como: $\mathrm{even}(n)\vdash \mathrm{even}(n\cdot n)$ (esto significa que " $\mathrm{even}(n\cdot n)$ " es cierto cuando estamos suponiendo que " $\mathrm{even}(n)$ "). Por otra parte, la afirmación "Para todos los números naturales pares $n$ , $n^2$ ist even" puede traducirse en una única fórmula $\forall n.\ \mathrm{even}(n)\implies \mathrm{even}(n\cdot n)$ . EDIT: En la formalización de los ejemplos el cuantificador $\forall$ sólo abarca los números naturales, por lo que éste es el tipo de "objeto" que estamos considerando.
Creo que en la mayoría de los casos se trata de la segunda versión ("Para todos..."), pero los autores sin embargo utilizan "dejar".
Esta es mi pregunta:
¿Por qué tantos autores escriben sus enunciados de la forma "Sea [Variable] un [Tipo]. Entonces...", incluso cuando en realidad quieren decir "para todas" e incluso cuando la versión escrita "para todas..." suena bastante bien?
He aquí un ejemplo de confusión:
Teorema: Sea $G$ sea un grafo plano, y sea $V$ el número de vértices, $E$ el número de aristas y $F$ el número de caras. A continuación, $V-E+F = 2$ .
Prueba: por inducción sobre el número de aristas $E$ .
¿Por qué es confuso? Porque una prueba por inducción nos da una afirmación "para todos".
Quizá me tomo la formalización de las pruebas demasiado en serio y exacta. En este caso: Perdón por la pregunta.
