Ejemplo en el que la convergencia en medida no implica convergencia en $L^1$

Question

Este es un ejemplo de mi clase de Análisis Real:

Considere el espacio $(\mathbb{R},L,m)$ donde $m$ es la medida de Lebesgue.

Sea $f_n = n\chi_{(0,\frac{1}{n})}$ .

Así que $\int |f_n| dm = \int_{[0,\frac{1}{n}]} n dm = 1$

Pero $f_n \rightarrow 0$ puntualmente, por lo que $m(|f_n - 0| \geq \epsilon) \leq m((0,\frac{1}{n})) = \frac{1}{n} \rightarrow 0$

Así pues, la convergencia en la medida no implica convergencia en $L^1$ .

Mi pregunta es: ¿Por qué $m(|f_n - 0| \geq \epsilon) \leq m((0,\frac{1}{n}))$ ?

Answer 1

Porque $\{ x \mid f_n(x) \neq 0\} \subset [0,\frac{1}{n}]$