Encuentre $P(X>2,Y<4)$ donde la pdf conjunta es $f(x, y)= e^{-y}$ si $ 0<x<y<\infty$ y $0$ de lo contrario

Question

Sea $(X, Y)$ sea un vector aleatorio con función de densidad conjunta dada por

$$f(x, y)=\begin{cases}\mathrm e^{-y} & \text { if } & 0<x<y<\infty \\[1ex] 0 && \text { otherwise } \end{cases}$$

Encuentre $P(X>2,Y<4)$

Creo que es $\displaystyle\int_2^4\int _x^4\mathrm e^{-y}\:\mathrm dy\:\mathrm dx$ pero no estoy seguro de que sea correcto.

Answer 1

Desde $X<Y$ casi seguro, entonces sí que quiere:

$$\begin{align}\mathsf P(X\,{>}\,2, Y\,{<}\,4)&=\mathsf P(2\,{<}\,X\,{<}\,Y\,{<}\,4)\\[1ex] & =\int_2^4\int_x^4 \mathrm e^{-y}\,\mathrm dy\,\mathrm d x\\[1ex]&=\int_2^4\int_2^y \mathrm e^{-y}\,\mathrm dx\,\mathrm d y\end{align}$$