Demostrar que si $A$ , $B$ son contables, entonces $A \times B$ ¿es contable?

Question

Est $A\times B$ ¿se refiere aquí al eje? Así que un $X$ y $Y$ ¿plano de coordenadas?

$A$ es contable, por lo que se produce una biyección desde $A \rightarrow \mathbb{N}$ .

$B$ es contable, por lo que se produce una biyección desde $B \rightarrow \mathbb{N}$ .

Si estas afirmaciones son ciertas, entonces cualquier elemento perteneciente a los conjuntos se puede enlazar y ordenar uno a uno a partir de cualquier número natural, por tanto, cualquier coordenada $(a,b)$ sería contable ya que los elementos que representa ( $x$ y $y$ coordenadas) son contables. Juntas conservan su naturaleza de cardinalidad.

¿Me equivoco?

Answer 1

Sea $f:A \to \mathbb{N}$ sea una biyección de $A$ a $\mathbb{N}$

Sea $g:B \to \mathbb{N}$ sea una biyección de $B$ a $\mathbb{N}$

Defina $h:A \times B \to \mathbb{N}$ como sigue:

$h(x,y)=2^{f(x)}\cdot3^{g(y)}$

Answer 2

Otra posibilidad es la siguiente.

Enumeraciones dadas $$a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$$ y $$b_1, b_2, b_3, b_4, \ldots$$ de los conjuntos $A$ y $B$ respectivamente, puede enumerar el conjunto $A\times B$ de pares como sigue $$(a_1,b_1),(a_2,b_1),(a_1,b_2),(a_3,b_1),(a_2,b_2),(a_1,b_3),(a_4,b_1),(a_3,b_2),(a_2,b_3),(a_1,b_4),...$$ (el patrón debe ser claro).

Answer 3

Sea $f:\mathbb{N} \to A, g:\mathbb{N} \to B$ sean las dos biyecciones, y definamos $h: \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to A\times B$ como $h(m,n) = (f(m),g(n))$ . Se puede demostrar fácilmente que $h$ es biyectiva. Ahora hay que demostrar que hay biyección desde $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ . Definimos $k: \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ como $k(m,n) = (2m-1)\cdot 2^{n-1}$ . Compruebe que $k$ es biyectiva, por lo que $k^{-1}$ es también biyectiva, por lo que la función $l = h\circ k^{-1}$ es una biyección de $\mathbb{N}$ a $A\times B$ Por lo tanto $A\times B$ es contable.

Answer 4

Enumeración:

$(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)\dots$

Si trabaja en platós $A=\{a_0,a_1,\dots\}$ y $B=\{b_0,b_1,\dots\}$ entonces interpreta $(n,m)$ como $(a_n,a_m)$ .