Pedir bolas de diferentes colores

Question

Imagina que tengo bolas de diferentes colores. Dadas todas las bolas (y su color) quiero saber todas las formas posibles de ordenarlas.

Ejemplo: Tengo tres bolas, dos de ellas son verdes y una amarilla. En este caso tengo tres ordenaciones diferentes: (G, G, Y) , (G, Y, G) y (Y, G, G) .

Mi primera pregunta es, dada la entrada $b_1,b_2,...,b_N$ donde $b_i$ es el número de bolas pintadas con el $i$ color, ¿existe alguna expresión matemática para obtener el número de ordenaciones posibles?

Tenga en cuenta que $N$ es la cantidad de colores y $B = \sum_{i=1}^{N}b_{i}$ es la cantidad de bolas. Además, como se muestra en el ejemplo, las bolas del mismo color son indistinguibles.

Por último, ¿cuál sería un algoritmo para enumerar todas las ordenaciones posibles?

Answer 1

Sí, hay una manera de encontrar el número de ordenaciones posibles. Si $S$ es el conjunto que contiene todas las ordenaciones posibles, entonces $$n(S) = \frac{B!}{\prod_{i=1}^N b_i!} = \frac{B!}{b_1!b_2!...b_N!}$$

Para hallar los elementos del conjunto $S$ un posible algoritmo sería:

• Enumera todas las bolas con sus colores de forma secuencial, por ejemplo GGGBBB
• Elige el primer elemento y cámbialo por el primer elemento de otro color, por ejemplo BGGGBB . Haciendo esto varias veces con el primer elemento nos da las posibilidades BGGBGB y BGGBBG también
• Repite la misma lógica con todos los elementos pero no los intercambies con ningún personaje que esté detrás de ellos ya que estos casos ya están cubiertos.