Guardaespaldas y rayos Láser

Question

Suponga que usted es un punto en una habitación cuadrada. Las paredes de la sala de los espejos, y hay un hombre con una pistola láser de pie en algún lugar de la habitación. El hombre es también un punto, y ambas posiciones son puntos fijos, es decir, que ninguno de ustedes puede mover. Un haz de láser rebote de las paredes de la habitación en un ángulo igual al ángulo de incidencia. Para protegerse, usted se permite colocar cualquier número de guardaespaldas (posiblemente infinitos) en cualquier punto de la habitación. El rayo láser se detendrá si se golpea con un guardaespaldas.

Hay una disposición de un número finito de guardaespaldas que protege completamente de ser fusilados? Si es así, ¿cuál es el mayor número de guardaespaldas que necesita para protegerse no importa cómo usted y el pistolero se colocan en la habitación?

Me encontré con este problema hace un tiempo, y no he sido capaz de resolverlo. Una idea inicial es de baldosas en el avión, con habitaciones y traducir la imagen en cada plaza, pero sólo se dibuja el pistolero en uno de los azulejos. A continuación, todos los posibles disparos mortales están representados por un segmento de la pistola a uno de sus imágenes. De alguna manera, debemos poner escolta a lo largo de estos segmentos, y cubrir cada uno.

Una simple generalización de este problema es comenzar con una habitación de una forma diferente (triángulo, hexágono, círculo, etc.). Me imagino que estos problemas podrían llegar a ser muy difícil, por ejemplo, mi enfoque de arriba solo funciona con las formas que se azulejo el avión.

Answer 1

Considero que es necesario una cierta distancia entre usted y el guardaespaldas, de lo contrario un solo guardaespaldas en la misma posición que está, va a hacer.

Para hacer una pared de guardaespaldas mediante la colocación de ellos en un círculo a su alrededor.

Como el pistolero reflexiones sobre una celosía doble (es más fácil de traducir el pistolero en lugar de usted), usted sólo necesita un contable número de guardaespaldas, pero usted no hizo mención de su guardaespaldas pared puede no ser continua.

Si usted insiste en el menor número de guardaespaldas, considerar el entramado de la pistolero reflexiones y poner un guardaespaldas en cualquier punto entre usted y la reflexión.

Mediante la colocación de la escolta en el punto medio, usted obtendrá un entramado de guardaespaldas con un período de la mitad de la distancia entre las paredes de la habitación. En los hechos, algunos de estos guardaespaldas será reflexiones de otros guardaespaldas. Por lo que tendrá 16 guardaespaldas (y sus reflexiones).

Ilustración (necesidad de html5)

Explícitamente digamos que el hombre es en $(a, b)$ y se encuentra en $(c, d)$ en la unidad de la plaza de $[0,1] \times [0,1]$. El pistolero primeros reflejos de la se $(-a, b)$$(a, -b)$. El reflejo de las reflexiones de los de la escolta se obtienen a partir de estos 4 puntos mediante la traslación de vector $(2n, 2m)$, con $n$, $m \in Z$; que es en $(2n+a, 2m+b)$, $(2n+a, 2m-b)$, $(2n-a, 2m+b)$, $(2n-a, 2m-b)$. Más brevemente, los puntos de $(2n\pm a,2m \pm b)$.

Usted necesidad de poner un guardaespaldas en el punto medio entre usted y la reflexión, que es la de los puntos de $(n+\frac {c\pm a} 2, m+\frac{ d\pm b} 2)$. En la información que usted necesita sólo el guardaespaldas, que están en la sala de $[0,1] \times [0,1]$, como se le protegidos por sus reflexiones. lo que deja , en el caso general con 16 puntos : $(\frac {c\pm a} 2, \frac{ d\pm b} 2)$, $(\frac {c\pm a} 2, 1+\frac{ d\pm b} 2)$, $(1+\frac {c\pm a} 2, 1+\frac{ d\pm b} 2)$, $(1+\frac {c\pm a} 2, 1+\frac{ d\pm b} 2)$.

Por supuesto, usted tiene degenerados de los casos. Jared proponer un pistolero en $(\frac 1 4, \frac 1 2)$ e de $(\frac 1 4, \frac 1 2)$. En este caso, tú y todo el pistolero reflexiones que están en las líneas de $y=m+\frac 1 2$, por lo que sólo 8 de los guardaespaldas son necesarios. Tenga en cuenta que el guardaespaldas todavía está dada por la solución general anterior, excepto que algunos se solapan.

Generalizar Si los rayos láser que se refleja en el piso y el techo, usted necesitará $2^(2n)$ guardaespaldas, donde n es la dimensión de la habitación.

Si tu habitación tiene una forma diferente, usted necesita un contable infinito número de guardaespaldas, a menos que la sala de preparar el plan, que se produce sólo para el triángulo equilátero, el hexágono o el rectángulo.

La respuesta en las dimensiones superiores involucra a los grupos cristalográficos de la teoría.