Demostrando que $(Y, \tau_\infty)$ es compacto

Question

Tengo preguntas sobre la prueba que hice sobre la siguiente afirmación: "Sea $(X,\tau_{X})$ sea un espacio topológico y $\lbrace \infty\rbrace$ un objeto que no pertenece a X. Definir $Y=X\cup\lbrace\infty\rbrace$ y \begin{equation} \tau_{\infty}=\lbrace U\subset Y|U\in \tau_X\text{ or }Y-U\text{ is compact and closed in } X\rbrace \end{equation} que es una topología sobre $Y$ . Demuestre que $(Y,\tau_{\infty})$ es compacto.

Ok, aquí está mi intento de la prueba: Que $C=\lbrace C_\alpha \rbrace_{\alpha \in \Lambda}$ sea una cubierta abierta arbitraria de $Y$ . Desde $C_\alpha \in \tau_\infty$ para cada $\alpha$ entonces $Y-C_\alpha$ es compacto y cerrado en $X$ para cada $\alpha$ . Desde $Y-C_\alpha$ es compacto, sea $C_x=\lbrace C_{\alpha_x}\rbrace_{\alpha_x\in \Lambda_x}$ sea cualquier cubierta abierta de $Y-C_\alpha$ . Entonces existe una subcubierta finita $C_x^{\prime}=\lbrace C_{\alpha_{x},i}\rbrace_{i=1}^n$ con \begin{equation*} Y-C_\alpha \subset \cup_{i=1}^nC_{\alpha_{x},i}. \end{equation*}

Ahora, seleccione $\alpha_\infty$ tal que $C_{\alpha_\infty}$ en $C$ contiene el objeto $\lbrace \infty \rbrace$ . Entonces, \begin{equation} Y-C_{\alpha_\infty}\subset \cup_{i=1}^nC_{\alpha_{x},i} \end{equation} Entonces claramente $\lbrace C_{\alpha_{x},i}\rbrace_{i=1}^n \cup \lbrace C_{\alpha_\infty}\rbrace$ es una subcubierta finita de $Y$ . Por lo tanto, $(Y,\tau_\infty)$ es compacto.

Sólo quiero saber si mi prueba es correcta. Agradecería cualquier corrección o sugerencia en caso de que sea incorrecta. Gracias.

Answer 1

Tu idea es correcta, pero no la elaboras adecuadamente. Tienes que encontrar una subcubierta finita de $C=\lbrace C_\alpha \rbrace_{\alpha \in \Lambda}$ .

Usted considera que cualquier cubierta abierta $C_x=\lbrace C_{\alpha_x}\rbrace_{\alpha_x\in \Lambda_x}$ de $Y-C_\alpha$ - pero esto no tiene nada que ver con la cubierta dada $C$ .

Así que proceda de la siguiente manera:

1. Seleccione $\alpha_\infty$ tal que $C_{\alpha_\infty}$ en $C$ contiene el objeto $\lbrace \infty \rbrace$ .

2. El conjunto $Y-C_{\alpha_\infty}$ es compacta y la colección $C' = \{ C_{\alpha} \cap (Y-C_{\alpha_\infty}) \}$ es una cubierta abierta de $Y-C_{\alpha_\infty}$ . Por lo tanto, tiene una subcubierta finita $C_{\alpha_i} \cap (Y-C_{\alpha_\infty})$ , $i = 1,\dots, n$ . Pero entonces $\{ C_{\alpha_i} \mid i= 1,\dots,n,\infty\}$ es una subcubierta finita de $C$ .

El espacio $Y$ se conoce como compactificación de Alexandroff de $X$ . Véase https://math.stackexchange.com/search?q=Alexandroff+compactificación y https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension .

Answer 2

Desde $C_\alpha \in \tau_\infty$ para cada $α$ entonces $Y−C_\alpha$ es compacto y cerrado en $X$ para cada $\alpha$ .

Esto no es cierto : si $C_\alpha \in \tau_X$ , aún no sabes que el complemento es compacto.

Afortunadamente, desde $\infty \in C_{\alpha_\infty}$ , tienes $C_{\alpha_\infty} \notin \tau_X$ y por tanto su complemento es cerrado y compacto en $X$ . El resto de tu prueba funciona a partir de este punto.