Sea $X_1,X_2,...$ sean variables aleatorias independientes: $$ \ X_n = \begin{cases} 0 \mbox{ with probability }= 1 - \frac{1}{n} \\ 1 \mbox{ with probability } = \frac{1}{2n} \\ -1 \mbox{ with probability } = \frac{1}{2n} \end{cases}\ $$
Sea $Y_1 = X_1$ y para n $\geq 2$
$$ \ Y_n = \begin{cases} X_n &\mbox{ if } Y_{n-1} = 0 \\ nY_{n-1}|X_n| & \mbox{ if } Y_{n-1} \neq 0 \\ \end{cases}\ $$
Demuestre que $Y_n$ es una martingala con respecto a $\mathcal{F}_n$ y mostrar por qué el teorema de convergencia martingala es inaplicable.
Martingala : $$ E[Y_n|F_{n-1}] = E[X_n * 1_{[Y_{n-1} = 0]} + nY_{n-1}|X_n|* 1_{[Y_{n-1} \neq 0]}|F_{n-1}] $$
Dividiendo las dos expectativas condicionales y viendo que $E[X_n]$ = 0 y $E[|X_n|] = \frac{1}{n}$ se cumple la propiedad martingala.
Sobre el teorema de convergencia martingala no se como demostrarlo. Yo pensaría que el sup E $[|X_n|]$ es $\infty$ pero no sé cómo mostrarlo.
