Encontrar $1/x^2 + 1/x^3 + 1/x^5 + \dots $

Question

En mi trabajo surgió la siguiente función: $$ f(x)=\sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{x^p}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^7}+\frac{1}{x^{11}}+\cdots. $$

Naturalmente, esto converge para $x>1$ como lo hace la serie geométrica. ¿Tiene nombre esta función? ¿Hay alguna forma mejor de calcularla que la simple suma? En mi aplicación puedo ligar $x$ lejos de la 1 si ayuda.

Answer 1

Los valores de su función $f$ en enteros positivos $n$ corresponden a la base- $n$ representaciones de la constante principal .

En efecto, $f$ está estrechamente relacionada con la función característica de los números primos. Por ejemplo, $f(2)$ se evalúa a la constante prima $\rho$ definido como:

$$ \rho =\sum _{{p}}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\chi _{{{\mathbb {P}}}}(n)}{2^{n}}}, $$

donde $\chi_\mathbb{P}$ es la función característica de los primos, es decir, la función tal que para número entero positivo $n$ :

$$ {\displaystyle \chi_\mathbb{P}(n):={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in \mathbb{P},\\0&{\text{if }}x\notin \mathbb{P},\end{cases}}} $$

donde $\mathbb{P}$ denota el conjunto de números primos.

La expansión decimal de $\rho$ comienza con: \begin{align} \rho&=0.414682509851111660248109622\ldots \\ &=0.011010100010100010_2. \end{align}

y se incluye en la OEIS como secuencia A051006 .

Los valores de $f$ para otros números enteros $n$ corresponden simplemente a la base- $n$ representaciones de la constante prima. Si denotamos por $\rho_n$ la base- $n$ representación de $\rho$ tenemos:

\begin{align} f(3)=\sum _{{p}}{\frac {1}{3^{p}}}&=\rho_3 \\ &=0.011010100010100010_3 \\ &=0.152726266\ldots... \end{align}

Por lo tanto $f(n)=\rho_n$ para números enteros positivos $n$ .