Demostrar que $u_n = \ln\left(\frac{n^{n+\frac 12}}{n!e^n}\right)$ converge

Question

Deje para $n>1$ : $$u_n = \ln\left(\frac{n^{n+\frac 12}}{n!e^n}\right)$$

He demostrado que :

$$u_{n+1} - u_n = 2\int_0^{\frac 12} \frac{x^2 dx}{(n+\frac 12)^2-x^2}$$

y así

$$0\leq u_{n+1}-u_n \leq \frac 14 \left(\frac 1n - \frac{1}{n+1}\right)$$

Se me pide que deduzca de ello que $(u_n)$ converge y no veo cómo. La convergencia de $u_{n+1}-u_n$ no ayuda si no me equivoco...

Gracias.

(nota al margen : la verdadera pregunta era mostrar $u_{n+1}-u_n \leq \frac{1}{12}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$ pero creo que se trata de un error en la pregunta ya que $\frac 14$ me parece más lógico).

Answer 1

La serie $ \sum (u_{n+1} - u_n)$ y la secuencia ( $u_n$ ) tienen el mismo comportamiento. Por lo tanto, si se demuestra que la serie $ \sum (u_{n+1} - u_n)$ converge significa también que ( $u_n$ ) converge.

Con tu desigualdad, puedes demostrar que $u_{n+1} - u_n=O(\frac{1}{n^2})$ lo que implica que la serie $ \sum (u_{n+1} - u_n)$ es convergente.