Área máxima de círculos inscritos en sectores del círculo unitario

Question

Dividimos el círculo unitario en sectores iguales e inscribimos círculos dentro de cada sector. Suponiendo que hacemos sectores cada vez más pequeños, ¿a cuánto converge el área total de los círculos inscritos?

Creo que lo he resuelto, pero como no soy matemático, me pregunto si esto es correcto.

Empecé preguntando: ¿Cuál es el área total de todos los círculos de un mismo sector?

Empezaremos con el círculo unitario como perímetro exterior, con $\theta$ siendo la mitad del ángulo subtendido, y $r_0$ siendo el radio del primer anillo de círculos, $r_1$ que es el radio del segundo anillo de círculos, y así sucesivamente.

Dado que el círculo unitario tiene un radio de 1, podemos deducir inmediatamente lo siguiente: $$r_{0} = ({\sin{\theta} \over 1+\sin{\theta}})$$ y también sabemos que: $$r_{n+1} = r_{n} ({1-\sin{\theta} \over 1+\sin{\theta}})$$ eso significa que: $$r_{1} = ({\sin{\theta} \over 1+\sin{\theta}}) ({1-\sin{\theta} \over 1+\sin{\theta}}) = {(\sin{\theta})({1-\sin{\theta})} \over (1+\sin{\theta})^2}$$ y: $$r_{2} = {(\sin{\theta})({1-\sin{\theta})^2} \over (1+\sin{\theta})^3}$$ así que en general podemos decir que: $$r_{n} = {(\sin{\theta})({1-\sin{\theta})^n} \over (1+\sin{\theta})^{n+1}}$$ el área de un círculo simple en un sector es: $$A_{n} = \pi r_{n}^2 = \pi ({(\sin{\theta})({1-\sin{\theta})^n} \over (1+\sin{\theta})^{n+1}})^2$$ por lo que el área de un único sector de círculos será: $$A_{s} = \pi \sum_{n=0}^{\infty} ({(\sin{\theta})({1-\sin{\theta})^n} \over (1+\sin{\theta})^{n+1}})^2 $$ y como se trata de dos o más sectores, podemos decir que: $$ 0 < \theta \leq {\pi \over 2} $$ lo que significa que la suma de las áreas de todos los círculos inscritos en un sector converge a: $$A_{s} = \pi \sum_{n=0}^{\infty} ({(\sin{\theta})({1-\sin{\theta})^n} \over (1+\sin{\theta})^{n+1}})^2 = {\pi \sin{\theta} \over 4}$$

Luego continué con: ¿Cuál es el área total de todos los círculos de todos los sectores?

Suponiendo que tengamos $k$ sectores, entonces $\theta = {\pi \over k}$ y nuestra suma sería: $$A_{k} = {k A_{s}} = {\pi k \sin{\pi \over k} \over 4}$$ y si tomamos el límite de $k$ , obtendremos: $$\lim_{k \to \infty} {\pi k \sin{\pi \over k} \over 4} = {\pi^2 \over 4} \tag*{$ \blacksquare $}$$

¿Es válido?

Answer 1

La relación del área total de los discos sobre el círculo exterior es la misma que la relación del área de un solo disco sobre el estrecho sector anular que lo limita.

Si hay $k$ círculos de radio $r$ en el anillo exterior, el ángulo subtendido es $\theta=\dfrac{2\pi}k$ .

El área de un sector es $$\theta(1-(1-2r)^2)$$

y la proporción solicitada

$$\frac{kr}{4(1+2r)}.$$

Answer 2

La primera pregunta es "¿Cuál es el área total de todos los círculos de un mismo sector?".

Si por "la superficie total de todos los círculos de un mismo sector" se entiende $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n} \pi r_i^2$ , entonces creo que tienes correctamente $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n} \pi r_i^2=\dfrac{\pi \sin{\theta}}4$ .

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La segunda pregunta es "¿Cuál es el área total de todos los círculos de todos los sectores?".

Creo que el significado de "el área total de todos los círculos de todos los sectores" es ambiguo, ya que aquí tenemos dos variables.

Sea $$f(n,k):=k\cdot \frac{\pi\sin\frac{\pi}{k}}{4}\bigg(1-\bigg(\frac{1-\sin\frac{\pi}{k}}{1+\sin\frac{\pi}{k}}\bigg)^{2n}\bigg)$$ sea la suma de las áreas de los $nk$ círculos donde tenemos $k$ sectores cada uno de los cuales tiene $n$ círculos.

• Si "el área total de todos los círculos de todos los sectores" significa $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\lim_{n\to\infty}f(n,k)$ (primera toma $n\to\infty$ y luego tomar $k\to\infty$ ), entonces tu argumento me parece válido, y creo que has acertado con $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\lim_{n\to\infty}f(n,k)=\dfrac{\pi^2}{4}$ .

• Si "el área total de todos los círculos de todos los sectores" significa $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}f(n,k)$ (primera toma $k\to\infty$ y luego tomar $n\to\infty$ ), entonces su argumento no es válido ya que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}f(n,k)=0$ .

• Si "el área total de todos los círculos de todos los sectores" significa $\displaystyle\lim_{(n,k)\to (\infty,\infty)}f(n,k)$ entonces su argumento no es válido ya que $\displaystyle\lim_{(n,k)\to (\infty,\infty)}f(n,k)$ no existe. Para ver esto, ponemos $n=ak$ tener $$\lim_{(n,k)\to (\infty,\infty)}f(n,k)=\lim_{k\to\infty}\frac{\pi^2}{4}\cdot \frac{\sin\frac{\pi}{k}}{\frac{\pi}{k}}\bigg(1-\bigg(\bigg(1+\frac{1}{\frac{1-\sin\frac{\pi}{k}}{2\sin\frac{\pi}{k}}}\bigg)^{\frac{1-\sin\frac{\pi}{k}}{2\sin\frac{\pi}{k}}}\bigg)^{\frac{2}{1-\sin\frac{\pi}{k}}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{k}}{\frac{\pi}{k}}\cdot(-2a\pi)}\bigg)$$ Esto equivale a $\dfrac{\pi^2}{4}(1-e^{-4a\pi})$ que depende de $a$ . Así que.., $\displaystyle\lim_{(n,k)\to (\infty,\infty)}f(n,k)$ no existe.

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Algunos comentarios :

• Si suponemos que tenemos $n$ sectores en lugar de $k$ sectores, entonces "el área total de todos los círculos en todos los sectores" debe ser $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n,n)=\dfrac{\pi^2}{4}(1-e^{-4\pi})$ .

• Si suponemos que tenemos $2n$ sectores en lugar de $k$ sectores, entonces "el área total de todos los círculos en todos los sectores" debe ser $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n,2n)=\dfrac{\pi^2}{4}(1-e^{-2\pi})$ .

• Si suponemos que tenemos $mn$ sectores en lugar de $k$ sectores en los que $m$ es un número entero positivo fijo que no depende de $n$ entonces "el área total de todos los círculos en todos los sectores" debe ser $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n,mn)=\dfrac{\pi^2}{4}(1-e^{-\frac{4\pi}{m}})$ .