¿Qué es la $\tau(A_n)$ ?

Question

Supongamos que G es un grupo finito. Definamos $\tau(G)$ como el número mínimo, tal que $\forall X \subset G$ si $|X| > \tau(G)$ entonces $XXX = \langle X \rangle$ . ¿Qué es el $\tau(A_n)$ ?

Ya se ha dado respuesta a problemas similares para algunas clases diferentes de grupos:

1) $\tau(\mathbb{Z}_n) = \lceil \frac{n}{3} \rceil + 1$ (se trata de un hecho teórico numérico demostrado mediante progresiones aritméticas)

2) Gowers, Nikolov y Pyber demostraron el hecho de que $\tau(SL_n(\mathbb{Z}_p)) = 2|SL_n(\mathbb{Z}_p)|^{1-\frac{1}{3(n+1)}}$ (este hecho se demuestra con álgebra lineal)

Sin embargo, nunca he visto nada parecido para $A_n$ . Será interesante saber si hay algo...

Answer 1

Supongo que la respuesta es $O(n!/n)$ . Puede obtener un ejemplo de este tamaño de la siguiente manera. Partición $\Omega = \{1, \dots, n\}$ como $\{1\} \cup T \cup S$ donde $|T| = t$ y que $X$ sea el conjunto de todos los $\pi$ tal que $\pi(1), \pi^{-1}(1) \in T$ y $\pi(T) \subset S$ . La densidad de $X$ es entonces comparable a $(t/n)^2 (1 - t/n)^t \approx (t/n)^2 \exp(-t^2/n)$ . La mejor opción para $t$ es $cn^{1/2}$ para alguna constante $c$ . Mientras tanto, por diseño, $X^{-1} \cap XX = \emptyset$ Así que $XXX$ no contiene $1$ .

¿Alguien encuentra una construcción mejor?

Se sabe más sobre una ligera variante de su pregunta. Supongamos que desea conocer la densidad mínima $\alpha$ tal que si $X, Y, Z$ tienen una densidad de al menos $\alpha$ entonces $XYZ = G$ . Sea $G = A_n$ . El método de Gowers da el límite superior $n^{-1/3}$ . Un ejemplo como el anterior da un límite inferior $n^{-1/2}$ . La verdad es que $n^{-1/2+o(1)}$ . Hace unos años escribí un artículo sobre este tema, que puede encontrar aquí: https://arxiv.org/abs/1512.03517 .