Suma de dos variables aleatorias independientes, una distribuida por Skellam y otra por Poisson

Question

Una continuación de la siguiente pregunta: Suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Skellam

¿Existe un resultado analítico para la distribución correspondiente a la suma de dos variables aleatorias independientes, donde uno tiene distribución de Poisson y el otro es Skellam distribuido ?

Answer 1

Tras la corrección de Snoops, decidí convertir mi intento en una respuesta:

Como en Suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Skellam se puede proceder mediante funciones características de la siguiente manera

$$\begin{aligned}E[e^{i\xi (X+Y)}]&=E_\mathrm{Skellam}[e^{i\xi X}]E_\mathrm{Poisson}[e^{i\xi Y}]=\\ &=e^{-(\mu_1+\mu_2)+\mu_1e^{i\xi }+\mu_2e^{-i\xi}} \,e^{\lambda(e^{i\xi}-1)}=\\ &=e^{-(\mu_1+\mu_1+\lambda)+(\mu_1+\lambda)e^{i\xi}+\mu_2e^{-i\xi}} \,.\end{aligned}$$

El resultado es de nuevo una distribución de Skellam con $\tilde{\mu_1}=\mu_1+\lambda$ y $\tilde{\mu_2} = \mu_2$ .

Supongo que esto también se puede entender intuitivamente, ya que la distribución de Skellam se obtiene como la diferencia de dos procesos de Poisson en primer lugar. Así que en realidad uno sólo suma dos procesos de Poisson aquí y luego resta otro.