Son todos los números enteros de las fracciones?

Question

En una clase de la universidad yo era esta pregunta en un cuestionario en lo que respecta a los conjuntos:

Todos los enteros de las fracciones. T/F.

Me respondió Falso, porque si un entero está escrito en notación de fracción es catalogado como un número racional. El maestro dijo que la respuesta era Cierto y me dio el link http://www.purplemath.com/modules/numtypes.htm. Como profesor de matemáticas en el sistema K-12 que me han enseñado siempre que los números enteros fueron todos los números enteros por encima y por debajo de cero, y incluyendo el cero. Todos los recursos que he utilizado de acuerdo a mi definición. Por favor aclarar esto para mí.

¿Qué es la verdad, o son ella y yo sólo palabras dulces?

Answer 1

Enteros fracciones, ya que un número es el mismo no importa cómo se escribe.

Una sección relevante de Lockhart es el Lamento de Un Matemático:

En lugar de un problema de contexto en el que los estudiantes pueden tomar decisiones sobre lo que quieren que sus palabras significan, y lo que las nociones que desea codificar, son sometidos a una secuencia interminable de motivación y " a priori "definiciones". El plan de estudios está obsesionado con la terminología y nomenclatura, aparentemente sin otro propósito que el de proporcionar a los maestros con algo para poner a prueba a los estudiantes. Ningún matemático en el mundo tomarán la molestia de hacer estas distinciones de sentido: 2 1/2 es un "número mixto", mientras que 5/2 es una "fracción impropia." Son iguales para llorar en voz alta. Son exactamente los mismos números, y tienen las mismas propiedades exactas. Quien usa esas palabras fuera de cuarto grado?

He aquí un relevante cómic de SMBC:

Answer 2

Quiero señalar una perspectiva diferente. Este es un típico problema de que no uso riguroso del lenguaje conduce a la confusión. Solemos tratar a los objetos que son equivalentes (en virtud de una posible tácita relación de equivalencia) como si son iguales.

Los números enteros y los números racionales no son fracciones, en el más estricto sentido de la palabra "son". Por ejemplo, las fracciones $1/1$, $4/4$, y $8/8$ son todos diferentes fracciones, pero todos ellos representan el mismo número entero. (En realidad, debería decir "las fracciones representadas por las expresiones $1/1$, $4/4$, y $8/8$.") Ninguna de las fracciones $1/1$, $4/4$, y $8/8$, literalmente, es el entero 1. Si todos fueran el mismo que el entero $1$, todos serían iguales como cualquier otro, pero no lo son, porque son diferentes fracciones. Lo que es cierto es que tienen el mismo valor que cada uno de los otros.

Del mismo modo, las fracciones $1/2$ $2/4$ no son ambos el mismo que el número racional $1/2$, debido a que no son lo mismo como los demás, porque tienen diferentes numeradores. Quién diría que un número racional tiene un numerador?

Cuando escribimos $$ 1 = 4/4 = 8/8 $$ el "equivale a" no sólo significa que las fracciones que representan el mismo número (que tienen el mismo valor), que no son la misma fracción. En otras palabras, el $=$ escribimos en realidad es una relación de equivalencia en un conjunto de fracciones - la equivalencia de la relación de ser "tiene el mismo valor". Nosotros no tenemos ningún símbolo que normalmente utilizamos para denotar "real" de la igualdad de fracciones. Este punto es a menudo ignorado completamente en el bajo nivel de los textos.

El primer lugar de que la gente empieza a pensar en estas cosas en detalle en álgebra abstracta. En ese contexto, nos encontramos con muchos interesantes distinciones que no serían visibles en la escuela primaria de matemáticas. Por ejemplo, en virtud de las definiciones que en la mayoría de los libros de álgebra, $\mathbb{Z}$ es una extensión de la semigroup $\mathbb{N}$ a un grupo; $\mathbb{Q}$ es el campo de fracciones de $\mathbb{Z}$; y $\mathbb{R}$ es el Dedekind finalización de $\mathbb{Q}$. Se desprende de estas definiciones que el número natural 1 no es el mismo que el entero 1, ambos son diferentes de los números racionales 1, y todos los tres son diferentes desde el número real 1.

Answer 3

Cada entero $x \in \mathbb Z$ puede ser expresada como la fracción $x \over 1$

Answer 4

Creo que usted tiene un caso para llevar a la maestra en este basado en el maestro utiliza la palabra "fracción" en lugar de "número racional". Todos los números enteros son los números racionales también, todo el mundo está de acuerdo (o deberían estar de acuerdo) en que. Eso es porque todos los números enteros se puede expresar como un cociente de enteros. Así que este es el caso:

Es $3$ un número binario?

Me sorprendería si mucha gente decir "sí" a esa pregunta. Tenga en cuenta que aunque $3$ puede ser expresado como un número binario ($11$), no nos llaman "el número binario" a menos que se expresa como una sola.

De manera similar, aunque cada número entero se puede expresar como una fracción de números enteros, incluso), incluso los matemáticos están de acuerdo (para simplificar de la coherencia, al menos) que un entero no es en sí mismo una fracción incluso si siempre es un número racional.

Answer 5

La pregunta importante es ¿qué es una fracción. Si es cualquier número que puede ser expresado como $\frac ab$ $a,b$ enteros, entonces cualquier entero $c$ puede ser expresado como $\frac c1$. Si las fracciones excluir a los números enteros, los números enteros no son fracciones.