Petición de referencia: grupo multiplicativo de un álgebra central simple, su reductividad y subgrupos parabólicos.

Question

Durante mi estudio de la teoría de las formas automórficas y $L$ -funciones, nunca he encontrado bibliografía que trate de lo siguiente:

Supongamos que $D$ es un álgebra de división central sobre un campo local o global $F$ y luego $G=GL(m,D)$ (que es el grupo multiplicativo del álgebra central simple $M(m,D)$ ) es un grupo algebraico definido sobre $F$ (estos grupos son las "formas internas" del grupo $GL(n)$ ).

Mi pregunta es: no he encontrado ninguna bibliografía que demuestre que este grupo algebraico es reductor, ni he podido dar una demostración directa por mí mismo.

Y además, ¿son los subgrupos parabólicos de $G=GL(m,D)$ (que se definen sobre $F$ ) todos conjugados (sobre $F$ ) a los triangulares superiores en bloque "estándar" (con elementos diagonales en $GL(m_i,D)$ y $m_i$ es una partición de $m$ ), al igual que en el caso $GL(n)$ ?

Creo que esto debe ser cierto, pero no he encontrado ningún texto o documento que contenga una prueba clara de este hecho aparentemente razonable, ni he podido obtener una prueba por mí mismo. Una incrustación de $G$ en $GL(mr)$ (donde $r$ es el rango de $D$ en $F$ ) no parece ayudar en esta cuestión. Así que, ¿alguien puede darme alguna ayuda o pista? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Por la proposición 19.13 en Milne "Algebraic Groups", basta mostrar que el cambio de base a cualquier extensión de campo de $F$ es reductora. Sea $K/F$ sea un campo de división para $D$ .

Supongamos por un momento que $G$ es cualquier afín $F$ -esquema de grupo y $K/F$ es cualquier extensión de campo. $G=\mathrm{Spec}(B)$ . Entonces el functor que $G$ viene dada por $A\mapsto\mathrm{Hom}_{F\textrm{-Alg}}(B,A)$ . El functor que $G_K$ viene dada por $A\mapsto\mathrm{Hom}_{K\textrm{-Alg}}(B_K,A)$ pero por la conjunción de extensión escalar y restricción para álgebras, esto es sólo $A\mapsto \mathrm{Hom}_{F\textrm{-Alg}}(B,\mathrm{Res}_{K/F}A)$ . La conclusión es que el functor la extensión escalar $G_K$ representa simplemente la composición del functor $G$ representa con el functor de restricción escalar $\mathrm{Res}_{K/F}:K\textrm{-Alg}\to F\textrm{-Alg}$ .

El functor que $\mathrm{GL}(m,D)$ representa es $A \mapsto (A\otimes_F \mathrm{M}_{m\times m}(D))^\times$ . Si $A$ es en realidad un $K$ -entonces tenemos $A\cong A\otimes_K K$ Así que $$A\otimes_F \mathrm{M}_{m\times m}(D)\cong A\otimes_K K \otimes_F \mathrm{M}_{m\times m}(D)\cong A\otimes_K (K\otimes_F \mathrm{M}_{m\times m}(D))$$ Porque $K$ es un campo de división para $D$ tenemos $K\otimes_F D\cong \mathrm{M}_{n\times n}(K)$ donde $n=\sqrt{\mathrm{dim}_F(D)}$ Por lo tanto $$K\otimes_F \mathrm{M}_{m\times m}(D) \cong K\otimes_F D \otimes_F \mathrm{M}_{m\times m}(F)\cong\mathrm{M}_{n\times n}(K) \otimes_F \mathrm{M}_{m\times m}(F) \cong \mathrm{M}_{mn\times mn}(K)$$ Así $$A\otimes_F \mathrm{M}_{m\times m}(D)\cong \mathrm{M}_{mn\times mn}(A)$$ Así que tenemos que $\mathrm{GL}(m,D)_K$ representa el functor $A \mapsto \mathrm{M}_{mn\times mn}(A)^\times=\mathrm{GL}(mn,A)$ . Así pues, hemos demostrado que $\mathrm{GL}(m,D)_K \cong \mathrm{GL}(mn,K)$ Así que $\mathrm{GL}(m,D)_K$ es reductora y también lo es $\mathrm{GL}(m,D)$ .