¿Qué otros trucos y técnicas puedo utilizar en la integración?

Question

Hasta ahora, conozco y puedo utilizar un número razonable de "trucos" o técnicas cuando resuelvo integrales. A continuación se muestran los trucos/técnicas que conozco para integrales indefinidas y definidas por separado.

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Integrales indefinidas

• Integrales estándar, como las de funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, incluido el uso de los identidades trigonométricos.
• Sustitución básica.
• Sustituciones de Weierstrass y Euler.
• Integración por partes.
• $$\int\frac{1}{x+x^n}dx=\int\frac{x^{-n}}{1+x^{1-n}}dx=\frac{1}{1-n}\ln\lvert 1+x^{1-n}\rvert+C$$
• $$\int\frac{1}{x^{\frac{a+b}{a+b}}\cdot x^{\frac{a}{a+b}}+x^{\frac{b}{a+b}}}dx=\int \frac{x^{-\frac{b}{a+b}}}{\left(x^{\frac{a}{a+b}}\right)^2+1}dx=\arctan x^{\frac{a}{a+b}}+C$$
• Sustitución $u=\frac{1-x}{1+x}$ para integrales en las que intervienen $\ln$ y/o los límites $0$ y $1$ .
• Fórmulas de reducción.
• $$\int e^x(f(x)+f'(x))dx=e^xf(x)+C$$
• Escribir $\sin$ y $\cos$ como exponenciales complejos.
• $$\int\frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx=Ax+B\ln\lvert c\sin x+d\cos x\rvert+C$$ donde $$A=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}~~~B=\frac{bc-ad}{c^2+d^2}$$ que puede hallarse mediante ecuaciones simultáneas.

Integrales definidas

• Diferenciación bajo el signo integral ('técnica de Feynman')
• $$\int_a^b f(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$
• Utilización de series de potencias para evaluar integrales como $\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x}dx$ y similares.
• Haciendo uso de las propiedades de la función par o impar.
• (Mi favorito personal más reciente) Para funciones uniformes $f(x)$ y $g(x)$ y una función impar $h(x)$ : $$\int_{-a}^a\frac{f(x)}{1\pm g(x)^{h(x)}}dx=\int_{0}^a f(x)~dx$$ que nos permite evaluar cosas maravillosas como $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{1+\pi^{\sin x} }dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

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Pregunta:

¿Conoces otras técnicas o trucos de integración que pueda utilizar y cuyo uso no dependa de nada más allá de cálculo de bachillerato * ¿o quizás el primer año de una carrera de Matemáticas?

Sé que se ha planteado una pregunta similar aquí y aquí pero les he echado un vistazo y no se mencionaba nada más allá de lo que he escrito arriba, aparte de algunas técnicas que no pude entender como el cálculo de residuos y las integrales de contorno.

Muchas gracias por su ayuda.

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* Más o menos lo que yo entiendo por cálculo de nivel de bachillerato:

INCLUIDO

• Integración de polinomios y de las funciones trigonométricas básicas, tales como $\sin x$ , $\cos x$ , $\tan x$ , $\sec x$ , $\operatorname{cosec} x$ , $\cot x$ , $\sec^2 x$ , $\sec x\tan x$ , $\operatorname{cosec} x\cot x$ , $\operatorname{cosec}^2 x.$
• Integración de todos los $x^n$ incluyendo $n=1$ . Integración de exponenciales .
• Integración por partes.
• Integración mediante sustituciones, como las sustituciones trigonométricas/hiperbólicas y las sustituciones de Weierstrass y Euler (también se incluye la integración por "inspección", que en realidad no es más que una sustitución, pero en la que no es necesario sustituir nada).
• Integración mediante fracciones parciales y logaritmos, tales como $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx$ .
• Fórmulas de reducción. Capacidad para comprender y utilizar los conceptos de funciones pares e Impares en la integración. Integrales impropias.
• Integración que da lugar a funciones elementales.

NO INCLUIDO

• Transformadas de Fourier, Laplace y Mellin.
• Integrales indefinidas que incluyen funciones no elementales en la solución.
• Integración de contornos.
• Cálculo de residuos y métodos similares.

Answer 1

He aquí una: si $f(a)=f^{-1}(a)$ y $f(b)=f^{-1}(b)$ entonces $$\int_a^bf(x)+f^{-1}(x)dx=b^2-a^2$$ Así es como debe resolver $$\int_1^2(e^{1-\frac{1}{(1-x)^2}}+1)+(1+\frac{1}{\sqrt{1-\ln(x-1)}})dx$$ Que fue la segunda integral en la abeja de integración de Berkeley 2020. Usando el truco anterior, el gran integrador lo resolvió en unos segundos.

Answer 2

Aquí hay otro truco y casi está cayendo en el olvido. Se llama el método de Ostrogradsky. Establece que, si usted tiene una integral de la forma $$\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$$ Dónde $Q(x)$ tiene más de una raíz, entonces la integral es equivalente a $$\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\int\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}dx$$ Dónde $Q_1(x)$ es $\gcd(Q(x),Q'(x))$ y $$Q_2(x)=Q(x)/Q_1(x)$$ Y los polinomios $P_1$ y $P_2$ que tienen un grado menos que $Q_1$ y $Q_2$ respectivamente, tienen coeficientes indeterminados que podrías encontrar diferenciando ambos lados. En mi opinión, su fuerza es igual a la de la Sustitución de Weierestrass.