Encontrar un control admisible tal que $(0,0) \to (1,e^2)$

Question

Verificar la controlabilidad del sistema $(A,B)$ para

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}, \; B=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$

Encontrar un control $u \in L([0,1];R)$ tal que $(0,0)\xrightarrow{u}(1,e^2)$ .

Mi intento Mi duda se refiere a la segunda parte. En primer lugar, he tratado de suponer que el sistema se inicia en $(0,0)$ . En este caso, tenemos una solución de la forma

$$x(t)=\int_0^t e^{(t-s)A}Bu(s)ds$$

He calculado la matriz exponencial como $$e^{(t-s)A} = \begin{pmatrix} e^{(t-s)} & 0 \\ \sinh (t-s) & e^{-(t-s)}\end{pmatrix}$$

Sustituyendo esto y multiplicando por $B$ , no pude ver una buena forma para las integrales de modo que una función $u$ parecía obvio. Probablemente haya una forma mejor de hacerlo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $W(0,T)=\int_0^Te^{sA}BB^te^{sA^t}ds$ es el gremio de la controlabilidad, puesto que el sistema es controlable el control

$$u(s)=B^te^{(T-s)A^t}W(0,T)^{-1}x(T)$$ para $x(T)=(1,e^2)$ hacer lo que queramos.