El teorema fundamental del álgebra afirma que cualquier polinomio al $n^{th}$ tendrá $n$ raíces (reales y complejas). Pero sé que las raíces complejas sólo vienen de dos en dos porque son conjugadas entre sí. Según el teorema $x^3-x^2-x-\frac{5}{27}=0$ debe tener 3 raíces reales y complejas combinadas, en este polinomio $n=3$ . Si graficas esto puedes ver que sólo hay 2 raíces reales, eso significa que debe haber 1 raíz compleja para que las raíces reales y complejas sumen 3, pero sabemos que un polinomio no puede tener un número impar de raíces complejas. Entonces, ¿alguien me puede explicar esto? ¿Me estoy perdiendo algo, cuántas raíces reales y cuántas raíces complejas tiene este polinomio: $$x^3-x^2-x-\frac{5}{27}=0$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Contando raíces repetidas, por supuesto, será $3$ .
Para saber cuántas raíces son raíces repetidas: Si $p(x)$ tiene raíces repetidas, también son raíces de $p'(x)$ de un grado menos. Así que calcula el GCD de $p(x)$ y $p'(x)$ y restar el grado del resultado al grado de $p(x)$ para obtener el número de raíces únicas de $p(x)$ .
Así que..:
$$\deg p(x) - \deg \gcd(p(x),p'(x))$$
Es el valor que busca para unas raíces únicas.
En este caso, tienes una raíz repetida.
Noldorin
Puntos
67794
Los factores de función como
$$f(x)=\frac1{27}(3x-5)(3x+1)^2.$$
Tiene 3 raíces reales: $5/3, -1/3$ y otra vez $-1/3$ por lo que sólo 2 de ellos son distintos. Por eso sólo ves 2. También podrías haber visto que hay un doble cero sin factorizarlo, porque las raíces complejas no reales vienen en pares conjugados.
