Dado un espacio topológico $X$ y un grupo finito $G$ ¿podemos construir un espacio de cobertura $Y$ de $X$ tal que el grupo de transformación de cobertura completa es isomorfo a $G$ . (Podemos suponer algunas condiciones, si es necesario, como la conectividad, la conexión de caminos, etc.)
Respuesta
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Binarytales
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La respuesta es no, en general. Puesto que $\pi_1(Y)\rightarrow \pi_1(X)$ es inyectiva podemos identificarla con su imagen; entonces el grupo de transformaciones de cubierta es isomorfo a $N(\pi_1(Y))/\pi_1(Y)$ . (Aquí, si $H\leq G$ entonces $N(H)=\{g\in G:gHg^{-1}=H\}$ es el normalizador de $H$ en $G$ . Se trata del mayor subgrupo de $G$ que contiene $H$ como subgrupo normal. Obsérvese que si $G$ es abeliano, entonces para cualquier subgrupo $H\leq G$ tenemos $N(H)=G$ .) Se trata de una condición puramente algebraica: puesto que los subgrupos de $\pi_1(X)$ corresponden biyectivamente a espacios de recubrimiento (basados), si encontramos un subgrupo adecuado podemos encontrar tal espacio de recubrimiento.
Esto puede ser útil para comprender. Deje que $F$ sea un conjunto finito. Entonces los espacios de cobertura de $X$ con $|F|$ corresponden exactamente a las representaciones $\pi_1(X)\rightarrow Aut(F)$ . Básicamente, cuando das la vuelta a un bucle vuelves a unir $F$ a sí mismo utilizando el automorfismo elegido. Entonces se puede traducir entre enunciados geométricos y algebraicos, por ejemplo, el espacio de cobertura es conexo si y sólo si $\pi_1(X)$ actúa transitivamente sobre $F$ .
