Decidir qué número es mayor

Question

Supongamos que $a$ y $b$ son dos números algebraicos con $0<|a-b|\approx 10^{-50}.$ Supongamos además que una calculadora puede evaluar $a$ y $b$ hasta, digamos, 12 dígitos. ¿Existe alguna transformación general que pueda hacer para que mi calculadora emita si $a<b$ ¿o no?

Answer 1

Supongamos que $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ tiene raíces $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k\}$ y $g(x)\in \mathbb{Q}[x]$ tiene raíces $\{\beta_1,\ldots,\beta_m\}$ . Sea $m(x)$ denota el polinomio mínimo para $\alpha_1-\beta_1$ (por ejemplo) sobre $\mathbb{Q}[x]$ que puede encontrarse como factor del polinomio $$F(x)=\prod_{i,j} (x-\alpha_i+\beta_j).$$ Así $m(x)$ tiene una raíz muy cercana a $0$ cuyo signo puede determinarse (heurísticamente) observando $m(0)$ y el signo de $m'(0)$ . Para que la respuesta obtenida aquí sea precisa, basta con acotar las demás raíces de $m$ lejos de cero, lo que no es demasiado difícil (el límite proviene de la discreción de las raíces de $f$ y $g$ .

Answer 2

Suponiendo que la calculadora sólo es deficiente en su capacidad para mostrar dígitos, pero no para almacenarlos, se podría considerar la salida de $10^{50}(a-b)$ .