Toda secuencia de Cauchy en $\{f\in (C([0,1]),\|\cdot\|_1)\,|\,\exists a,b\in\mathbb R:f(x)=ax+b\}$ converge

Question

Tengo problemas para demostrar que, utilizando la norma $\|f\|=\int_0^1|f(x)|\mathrm dx$ para una sucesión de Cauchy de funciones $f_n(x)=a_nx+b_n$ las secuencias $(a_n)_n$ y $(b_n)_n$ también tienen que ser secuencias de Cauchy. Lo único que he podido concluir hasta ahora es que para cualquier $\varepsilon>0$ existe un $N\in\mathbb N$ tal que $$\varepsilon>\left|\frac{|a_n-a_m|}2-|b_n-b_m|\right|\ \forall\ n,m>N$$ pero no veo cómo probar que $(a_n)_n$ y $(b_n)_n$ son sucesiones de Cauchy.

Answer 1

Si $(f_n)$ es Cauchy en esa norma entonces se puede demostrar que las dos secuencias $(\int_0^1 f_n)$ y $(\int_0^1 tf(t)\,dt)$ son Cauchy...