Algoritmo espejo para calcular $\pi$ y $e$ - ¿insinúa alguna conexión entre ellos?

Question

Benoit Cloitre propuso dos "secuencias espejo", que permiten calcular $\pi$ y $e$ de forma similar:

$$u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{u_n}{n}$$

$$v_{n+2}=\frac{v_{n+1}}{n}+v_{n}$$

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$$u_1=v_1=0$$

$$u_2=v_2=1$$

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$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{u_n}=e$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{v_n^2}=\pi$$

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La formulación y la prueba pueden verse aquí .

¿Qué opinas? ¿Es sólo una coincidencia o hay algún significado más profundo en este algoritmo espejo sobre la conexión de dos constantes?

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Por @EricStucky en el comentario, la pregunta mejor:

¿Existe alguna relación entre $e$ y $$ que es esencialmente diferente de la fórmula de Euler?

Por supuesto, espero una respuesta relacionada con mi propia pregunta sobre esta "secuencia espejo

Si, por otro lado, alguien muestra una relación clara entre esta secuencia y la fórmula de Euler, también está bien.

Answer 1

Como siempre conmigo, por favor, compruébelo dos veces. La secuencia es bastante obvia.
Transformaremos ambas en ecuaciones diferenciales por el "Método de los Coeficientes". Es similar a uno de los métodos de Benoit Cloitre, pero un poco más directo.
Utilizando los dos formularios OGF: $$V\left(x\right)={\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}} v_{k}x^{k}, U\left(x\right)={\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}}u_{k}x^{k}$$ Las técnicas de alineación/conversión son:
$$\left[x^{k}\right]\frac{V\left(x\right)}{x^{2}}=v_{k+2};\left[x^{k}\right]\frac{V\left(x\right)}{x}=v_{k+1};\left[x^{k}\right]x\cdot\frac{\partial V(x)}{\partial x}=n\cdot v_{k}$$ Alineamos el $[x^{k}]$ condiciones para $V_{k}\left(x\right),U_{k}\left(x\right)$ y aplanar las recursiones: $$n\cdot v_{n+2}-v_{n+1}-n\cdot v_{n}=0$$ $$n\cdot u_{n+2}-n\cdot u_{n+1}-u_{n}=0$$ $x\cdot\frac{\partial\left(\frac{U\left(x\right)}{x^{2}}\right)}{\partial x}-x\cdot\frac{\partial\left(\frac{U(x)}{x}\right)}{\partial x}-U\left(x\right)=0$

$x\cdot\frac{\partial\left(\frac{U\left(x\right)}{x^{2}}\right)}{\partial x}-x\cdot\frac{\partial\left(\frac{U(x)}{x}\right)}{\partial x}-U\left(x\right)=0$

$\left(\frac{1}{x}-1\right)\frac{\partial U\left(x\right)}{\partial x}-\left(\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x}+1\right)U(x)=0$

$x\cdot\left(1-x\right)\frac{\partial U\left(x\right)}{\partial x}-\left(2-x+x^{2}\right)U(x)=0$

$\frac{1}{U\left(x\right)}\frac{\partial U\left(x\right)}{\partial x}-\left(\frac{\left(x^{2}-x+2\right)}{x\cdot\left(1-x\right)}\right)=0$

$U\left(x\right)=\frac{e^{-x}\cdot x^{2}}{\left(1-x\right)^{2}}$

Donde la constante de integración se evalúa mediante los tres primeros términos de la expansión de la serie de Taylor.

$x\cdot\frac{\partial\left(\frac{V\left(x\right)}{x^{2}}\right)}{\partial x}-\frac{V\left(x\right)}{x}-x\cdot\frac{\partial V\left(x\right)}{\partial x}=0$

$x\cdot\frac{-2}{x^{3}}V\left(x\right)+x\cdot\frac{1}{x^{2}}\frac{\partial V\left(x\right)}{\partial x}-\frac{V\left(x\right)}{x}-x\cdot\frac{\partial V\left(x\right)}{\partial x}=0$

$\left(\frac{1}{x}-x\right)\frac{\partial V\left(x\right)}{\partial x}-\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)V\left(x\right)=0$

$\left(1-x^{2}\right)\cdot x\cdot\frac{\partial V\left(x\right)}{\partial x}-\left(x+2\right)\cdot V\left(x\right)=0$

$\frac{1}{V\left(x\right)}\frac{\partial V\left(x\right)}{\partial x}-\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{2\cdot\left(x+1\right)}-\frac{3}{2\cdot\left(x-1\right)}\right)=0$

$ln\left(V\left(x\right)\right)=ln\left(x^{2}\right)-ln\left(\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}\right)-ln\left(\left(\left(x-1\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right)+C$

$V\left(x\right)=\frac{x^{2}}{\left(x-1\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}}$