Encuentre una expresión alternativa para $y :=cos(x+\delta)-cos(x)$

Question

Explicar la dificultad de calcular $y :=cos(x+\delta)-cos(x)$ para valores pequeños de $\delta$ . Encuentre una expresión alternativa de $y$ que no presente estas dificultades.

Hasta ahora he averiguado, como Delta es muy pequeño obtenemos $cos(x+\delta)\approx cos(x)$ Por lo tanto, experimentamos errores de redondeo críticos (se anularían entre sí). Sin embargo, no consigo encontrar una buena forma alternativa que elimine este problema.

Espero que alguien pueda ayudarme a encontrar uno y quizás darme alguna explicación de por qué es una buena forma alternativa.

Answer 1

Los problemas de la informática $\cos (x+ \delta) - \cos x$ directamente son los mismos que calcular $(1+\delta) -1$ . El cálculo de $\cos$ sólo añade un poco más de ruido.

$\cos (x+ \delta) - \cos x = -2 \sin (x+ {\delta \over 2}) \sin {\delta \over 2}$ .

Esto es exacto en $\mathbb{R}$ aritmética y no hay cancelación dográstica.

Una forma de pensar en ello es observar el error relativo para pequeños valores no nulos. $\delta$ con cálculos ideales, pero teniendo en cuenta que tenemos una precisión finita.

En particular, obsérvese que para $\delta,\epsilon$ tenemos ${\cos (x+\delta+\epsilon)-\cos(x) \over \cos (x+\delta)-\cos(x) } -1 \approx {- (\sin x) (\delta+\epsilon) \over -(\sin x) (\delta)} -1 = {\epsilon \over \delta}$ .

Si $\epsilon$ y $\delta$ son del mismo tamaño, entonces tenemos un error relativo muy grande.

Answer 2

De: $$\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(x+\delta)-\cos(x)}{\delta}=-\sin(x)$$ Así que..: $$\frac{\cos(x+\delta)-\cos(x)}{\delta}\approx-\sin(x)$$ $$\cos(x+\delta)-\cos(x)\approx-\delta\sin(x)$$

Answer 3

Aplica la relación diferencia-producto para cosenos:

$\cos u - \cos v = -2\sin (\frac{u+v}{2})\sin (\frac{u-v}{2})$

$\cos (x+\delta) - \cos x = -2\sin (\frac{2x+\delta}{2})\sin (\frac{\delta}{2})$