Polinomio mónico reducible sobre racionales

Question

Sea $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ , $Q(x),R(x)\in \mathbb{Q}[x]$ y los tres polinomios son mónicos. Supongamos que $P(x)=Q(x)R(x)$ . ¿Es cierto que $Q(x),R(x)\in\mathbb{Z}[x]$ ?

Lemma de Gauss dice que desde $P(x)$ es reducible sobre $\mathbb{Q}[x]$ debe ser reducible sobre $\mathbb{Z}[x]$ . Pero todavía no dice que $Q,R\in\mathbb{Z}[x]$ .

Answer 1

Esta es la forma original del lema de Gauss. Una prueba sigue fácilmente de dicha forma moderna GL.

Escriba a $\,Q = \dfrac{f}c,\ R = \dfrac{g}d\, $ para primitivos $\,f,g\in\Bbb Z[x],\,$ y $\,0 < c,d\in\Bbb Z,\,$ y supongamos que $\, h = QR = fg/(cd) \in\Bbb Z[x],\,$ así que $fg = cd\,h.\,$ Por GL: $\,f,g\,$ primitivo $\Rightarrow$ $fg$ primitivo, así que $\,c,d = 1,\,$ de ahí $\,Q = f,\ R = g,\,$ por lo que ambos son $\in \Bbb Z[x].$

Observación $\ $ En términos más generales, es cierto lo siguiente. Si $f,g\in\Bbb Q[x]$ y $\,fg\in\Bbb Z[x]\,$ entonces $\,f_i g_j\in \Bbb Z$ para todos los coeficientes $f_i,g_j$ de $f,g.\,$ En particular, si $f$ es mónico, tomando $f_i = 1$ = coeficiente principal, muestra que cada $\,g_j\in \Bbb Z,\,$ y, del mismo modo cada $f_i\in \Bbb Z,\,$ dando lugar al caso especial anterior.

Esta forma general es verdadera sobre cualquier dominio integralmente cerrado (es equivalente al cierre integral). A veces se denomina lema de Gauss-Kronecker o teorema de Praga de Dedekind. Dedekind descubrió una forma aplicable a los números enteros algebraicos tras estudiar una forma teórica de divisores que aparecía en la obra seminal de Kronecker sobre la teoría de divisores. Para más información, tanto histórica como matemática, véase Harold Edwards, Teoría del Divisor.

A continuación se muestra la forma original de Gauss del Lemma de Gauss, del Art. $42$ de Disq. Arith . Nótese que es de la forma mencionada anteriormente, no de la forma moderna reformulada utilizando primitividad o contenido.