¿Existe alguna condición para caracterizar cuándo limsup es aditivo?

Question

Sé que en general $\limsup(a_{n} + b_{n}) \leq \limsup(a_{n}) + \limsup(b_{n})$ . Me preguntaba cuando se mantiene la igualdad es decir. $\limsup(a_{n} + b_{n}) = \limsup(a_{n}) + \limsup(b_{n})$ .

Answer 1

Si $a_n$ y $b_n$ son crecientes, entonces sus limsups son aditivos.

Si están oscilando, entonces básicamente, las dos secuencias tienen que estar oscilando "en sincronía".

Si tienes una subsecuencia creciente a' $_k$ de un $_n$ tal que para cada n, existe un k tal que $a_n \leq a'_k$ entonces el limsup de $a_n$ es igual a $lim_{k \to \infty }{a'_k}$ . Si puede encontrar $a'_k$ y $b'_k$ con los mismos índices, entonces los limsups son aditivos. Es decir, si existe una secuencia $n_k$ de forma que $a_{n_k}$ y $b_{n_k}$ tienen la propiedad anterior con respecto a sus secuencias originales, entonces los limsups son aditivos.

Si están "desincronizados", puede ocurrir que uno de ellos se acerque al limsup en índices para los que el otro tiene valores arbitrarios, y viceversa. Por ejemplo, supongamos que $a_n = 1-\frac{1}{n}$ para n par, y $b_n = 1-\frac{1}{n}$ para impar n. Es evidente que ambas secuencias tienen un limsup de al menos 1, independientemente de cuáles sean sus otros valores, por lo que la suma de sus limsups es al menos 2. Supongamos ahora que $a_n =\frac{1}{n}$ para impar n, y $b_n = \frac{1}{n}$ para n par. Entonces $a_n+b_n$ = 1 para todo n, por lo que limsup( $a_n+b_n$ ) = 1.

La razón por la que sus limsups no suman es que aunque, por todo $\epsilon$ se puede encontrar un n para el que 1- $a_n < \epsilon$ y un n para el que 1- $b_n < \epsilon$ , estos no son los mismo n.

Es análogo a las ondas sinusoidales: si tienen el mismo periodo y la misma fase, sus amplitudes se suman. Si están desfasadas, sus amplitudes son subaditivas.