$f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente encuentra $f(1)$ ?

Question

$f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente tal que

1. $f(x) > \frac{-1}{x} : \forall x > 0$

2. $f(x)f(f(x)+1/x)= 1 : \forall x> 0$

encontrar $f(1)$ ?

He intentado diferentes maneras pero no he sido capaz de continuar a una solución.también reemplazar algunos números pero no eran también útiles

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x)\not=0$ para todos $x\in\Bbb R^+$ debido a la segunda condición. Sea $f(x)=y$ . Entonces

$$1=f(x)\cdot f\left(f(x)+\frac 1x\right)=y\cdot f\left(y+\frac 1x\right)\quad\Rightarrow\quad f\left(y+\frac 1x\right)=\frac1y.$$

Defina $z=y+1/x$ . Entonces tenemos $f(z)=1/y$ y podemos volver a introducirlo en la misma ecuación:

$$1=f(z)\cdot f\left(f(z)+\frac 1z\right)=\frac1y\cdot f\left(\frac1y+\frac 1z\right) \quad\Rightarrow\quad f\left(\frac1y+\frac 1z\right) =y=f(x)$$

Pero las funciones estrictamente crecientes deben ser inyectivas, por lo tanto

$$x=\frac1y+\frac1z=\frac1y+\frac 1{y+1/x}=\frac1{f(x)}+\frac 1{f(x)+1/x}$$

multiplicar por $f(x)$ encontrar

$$xf(x)=1+\frac1{1+1/(xf(x))}$$

Defina $g(x)=xf(x)$ :

$$g(x)=1+\frac1{1+1/g(x)}$$

Pero la ecuación

$$x=1+\frac1{1+1/x}$$

tiene exactamente las dos soluciones $x=1/2\cdot(1\pm\sqrt 5)$ . Por lo tanto $g(x)$ es constante. Esto hace que la única solución $f(x)=g(x)/x$ que también cumple los demás requisitos

$$f(x)=\frac 1{2x} \cdot(1-\sqrt 5)\approx -0.618034\cdot \frac 1x.$$

Por tanto, el valor $f(1)=1/2 \cdot(1-\sqrt 5)=-0.618034...$ . Y no veo por qué la condición $f(x)>-1/x$ era necesaria, ya que la única solución la satisface de todos modos.

Answer 2

No estoy seguro de que esto sea posible:

Supongamos que $f(x) >1$ Entonces $\forall y > x: f(y)>1 \Rightarrow f(x)f(y) > 1$

Así que tenemos $\forall x \in \mathbb{R} : \ \ \ f(x) \leq 1$

Pero entonces $f(x)f(y) = 1 \Rightarrow f(x) = f(y) = 1$ y entonces la función no puede ser estrictamente creciente