Función generadora de momentos Weibull y función Gamma

Question

Agradecería cualquier pista o ayuda con esta pregunta: Que $X$ siguen la distribución de Weibull con pdf

$f(x)=\beta x^{\beta-1}e^{-x^{\beta}}$

en $x>0$ con $\beta>0$ . Demuestre que

$E(X^r)=\Gamma(\frac{r}{\beta}+1)$

donde $\Gamma(a)=\int_{0}^{\infty}x^{a-1}e^{-x} dx$

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Hasta aquí he llegado.......

$E(X^r)=M_X^{(r)}(0)$

$M_X(t)=E(e^{tX}) = \int_{0}^{\infty} e^{tx}\beta x^{\beta-1}e^{-x^{\beta}}$

Sea $u=x^\beta$

Así que

$E(e^{tx})=\int_{0}^{\infty} e^{tu^{1/\beta}}e^{-u}$

Answer 1

Recurrir a mgf no es útil en este caso. Es más fácil acudir directamente a la expectativa.

$$E[X^r]=\beta\int_0^{\infty}x^{\beta +r-1}\exp(-x^{\beta})dx$$

Haz el mismo cambio de variables que hiciste antes. Voy a publicar el resto de la respuesta más tarde.