Un término de $f(x)$ cuya raíz es un generador de una extensión sobre un campo finito

Question

Sea $f(x)\in\Bbb F_p[x]$ sea irreducible con grado $n$ . Entonces existe un campo finito que contiene todas las raíces de $f(x)$ a saber $\Bbb F_{p^n}$ . Sin embargo, $f(x)$ puede o no tener una raíz como generador del grupo multiplicativo de $\Bbb F_{p^n}$ ¿Verdad? Si $f(x)$ contiene dicha(s) raíz(es), ¿existe una frase o término para denominar dicha $f(x)$ ? Sé por criptografía que llaman $f(x)$ primitiva, y las raíces de $f(x)$ que también es generador de $\Bbb F_{p^n}^*$ elementos primitivos. Sin embargo, ¿es estándar en álgebra abstracta? Además, el sustantivo "elemento primitivo" me hace pensar en el "teorema del elemento primitivo"(ver mi PS). ¿Están relacionados?

PD: el teorema del elemento primitivo dice cuando para una extesión $F\le E$ , $E=F(u)$ para algunos $u$ . Pero esta $u$ no está relacionado con "generador de subgrupo multiplicativo", ¿verdad?

Answer 1

Bueno, considera el campo $GF(16)$ . Corresponde al campo cociente ${\Bbb Z}_2[x]/\langle f(x)\rangle$ donde $f(x)$ es un polinomio irreducible de grado $4$ en ${\Bbb Z}_2$ . Estos polinomios son $x^4+x+1$ , $x^4+x^3+1$ y $x^4+x^3+x^2+x+1$ . Los dos primeros son primitivos y se conjugan entre sí, mientras que el último no es primitivo. De hecho, divide $x^5-1$ y así cada elemento es una 5ª raíz de la unidad.

A lo que te refieres es a la noción de polinomio primitivo, donde cada raíz genera el grupo cíclico completo del campo.