Definición precisa del soporte de una variable aleatoria

Question

$\newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\powset}[1]{\mathcal{P}(#1)}$ Estoy leyendo notas de clase que contradicen mi comprensión de las variables aleatorias. Supongamos que tenemos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, Pr)$ donde

• $\Omega$ es el conjunto de resultados

• $\F \subseteq \powset{\Omega}$ es la colección de acontecimientos, a $\sigma$ -álgebra

• $\Pr:\Omega\to[0,1]$ es la correspondencia entre los resultados y sus probabilidades.

Si tomamos la definición estándar de una variable aleatoria $X$ en realidad es una función del espacio muestral a valores reales, es decir $X:\Omega \to \mathbb{R}$ .

Lo que ahora me confunde es la definición exacta del término soporte .

Según Wikipedia :

el soporte de una función es el conjunto de puntos no tiene valor cero.

Ahora, aplicando esta definición a nuestra variable aleatoria $X$ Estos notas de clase digamos:

Variables aleatorias - Una variable aleatoria es un re en el espacio muestral de un experimento. [ ] una función de densidad de probabilidad (fdp) para la variable aleatoria. aleatoria. El espacio muestral también se denomina soporte de una variable aleatoria. aleatoria.

No estoy del todo convencido con la línea el espacio muestral también se denomina soporte de una variable aleatoria .

¿Por qué $\Omega$ sea el soporte de $X$ ? ¿Y si la variable aleatoria $X$ resulta que asigna algún elemento $\omega \in \Omega$ al número real $0$ Entonces, ¿ese elemento no estaría en el soporte?

Lo que resulta aún más confuso es que, cuando hablamos de apoyo, ¿nos referimos al de $X$ o la de la función de distribución $\Pr$ ?

Esta respuesta dice eso:

I del soporte de la variable aleatoria.

¿Interpretamos la soporte ser

• el conjunto de resultados en $\Omega$ que tienen una probabilidad distinta de cero,
• el conjunto de valores que $X$ puede tomar con probabilidad no nula?

Creo que ser preciso es importante, aunque mi bibliografía no parece muy rigurosa.

Answer 1

No estoy del todo convencido con la línea el espacio muestral también se denomina soporte de una variable aleatoria

A mí me parece muy mal.

Lo que resulta aún más confuso es que, cuando hablamos de apoyo, ¿nos referimos al de $X$ o la de la función de distribución $Pr$ ?

En términos más bien informales, el "soporte" de una variable aleatoria $X$ se define como el soporte (en el sentido de función) de la función de densidad $f_X(x)$ .

Digo, en términos más bien informales, porque la función de densidad es un concepto bastante intuitivo y práctico para tratar con probabilidades, pero no tanto cuando se habla de probabilidad en términos generales y formales. Para empezar, no es una función adecuada para "distribuciones discretas" (de nuevo, un concepto práctico pero poco preciso).

En términos más formales/estrictos, el comentario de Stefan encaja a la perfección.

Do we interpret the support to be

- the set of outcomes in Ω which have a non-zero probability,
- the set of values that X can take with non-zero probability?

Ninguna de las dos, en realidad. Consideremos una variable aleatoria que tiene una densidad uniforme en $[0,1]$ con $\Omega = \mathbb{R}$ . Entonces el soporte es el intervalo completo $[0,1]$ - que es un subconjunto de $\Omega$ . Pero, entonces, por supuesto, decir $x=1/2$ pertenece al soporte. Pero la probabilidad de que $X$ toma este valor es cero.

Answer 2

El soporte de la función de densidad $f_X(.)$ es el intervalo de valores de la variable aleatoria X para los que la función de densidad es positiva. Es decir

$\mathcal{R}_x:= \{{x\in \mathcal{R}_X : f_X(x) > 0\}}$

Tenga en cuenta que $f_X(.)$ es la función de densidad de probabilidad/masa de la variable aleatoria X.

Answer 3

Una variable aleatoria se define como una función que asigna resultados a cantidades numéricas, normalmente números reales, es decir, X: Ω ↦ R.

El "dominio de una variable aleatoria" es el conjunto de resultados posibles. En el caso de la moneda, sólo hay dos resultados posibles: cara o cruz. Dado que uno de estos resultados debe producirse, el hecho de que la moneda salga cara o el hecho de que la moneda salga cruz debe tener una probabilidad distinta de cero. Para una moneda insesgada p(H)=p(T)=1/2.

Consideremos otra variable aleatoria Y, sea el número de cabezas. Entonces lanzar una moneda dos veces produce y = 0, 1 y 2 con p(Y) = ¼, ½ y ¼ respectivamente.

El "soporte de una función de valor real f " es el subconjunto del dominio que contiene aquellos elementos que no están asignados a cero. Sea f(x) la f.d.p. de la distribución normal con soporte x∈R , de modo que f(x)≠0.