Según Wikipedia, hay incontables ordinales contables. ¿Cuál es la forma más fácil de ver esto? Si construyo los ordinales de la manera estándar, $$1,\ 2,\ \ldots,\ \omega,\ \omega +1,\ \omega +2,\ \ldots,\ \omega\cdot 2,\ \omega\cdot 2 +1,\ \ldots,\ \omega^{2},\ \ldots,\ \omega^{3},\ \ldots\ \omega^{\omega},\ \ldots,\ \omega^{\omega^{\omega}},\ \ldots, \epsilon_{0},\ \ldots$$ Parece que sólo obtengo un número contable de ordinales contables.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $\alpha$ sea el conjunto de todos los ordinales contables.
Es un ordinal : si $\beta \in \alpha$ entonces $\beta \subset \alpha$ porque los elementos de $\beta$ son ordinales contables.
Es incontable : si fuera contable, $\alpha$ sería un miembro de sí mismo, por lo que habría una secuencia descendente infinita de ordinales.
Por lo tanto, $\alpha$ el conjunto de todos los ordinales contables, es el ordinal incontable más pequeño.
DanV
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281
Es un hecho: Si $A$ es un conjunto de ordinales cerrado hacia abajo, entonces $A$ es un ordinal.
Consideremos ahora el siguiente conjunto: $A=\{\alpha\mid\exists f\colon\alpha\to\omega,\ f \text{ injective}\}$ , éste es el conjunto de todos los ordinales contables.
Si $\alpha\in A$ entonces claramente $\beta<\alpha$ implica $\beta\in A$ simplemente porque $\beta\subseteq\alpha$ . Tenemos, si es así, que $A$ es a su vez un ordinal. Si $A$ era un ordinal contable, entonces $A\in A$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto $A$ es incontable, de hecho $A$ es el menos ordinal incontable, también conocido como $\omega_1$ .
Sólo hay muchos ordinales que no se pueden describir bien. Sólo demuestra que se puede ordenar bien un conjunto contable de tantas maneras...
weux082690
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362
He buscado y rebuscado una respuesta a esta pregunta que tenga sentido intuitivo y aún no he encontrado ninguna. Así que, después de pensarlo un poco, esto es lo que se me ocurrió.
Supongamos que los ordinales contables fueran contables. Sea f una correspondencia uno a uno entre los números naturales y todo ordenamiento bueno de los números naturales. Por ejemplo:
1 <--> 1 < 3 < 5 <... 2 < 4 < 6 <...
2 <--> 1 < 2 < 3 < 4 <...
3 <--> 1 < 2 < 4 < 8 <... 3 < 6 <... 5 < 10 <...
...Entonces, sólo hay que demostrar que hay un buen ordenamiento de los números naturales que no está en esta lista.
Para cada número natural $n$ , dejemos que $f(n)$ sea el tipo de orden de la ordenación correspondiente a $n$ . Siguiendo el ejemplo de la lista anterior, $f(1) = \omega*2$ , $f(2) = \omega$ , $f(3) = \omega^2$ y así sucesivamente. Definir un ordenamiento en los números naturales desde $m < n$ si $f(m) < f(n)$ . Este ordenamiento de los números naturales es un ordenamiento bueno ya que el ordenamiento de los ordinales es un ordenamiento bueno. Por lo tanto, tiene algún tipo de orden, llámese $\alpha$ . Para todos los $n$ , $f(n) < \alpha$ lo que se deduce de que cada ordinal es isomorfo al conjunto ordenado de ordinales menores que él. Suponemos que $\alpha$ es contable, por lo que debe estar en algún lugar de nuestra lista, digamos $f(n) = \alpha$ . Pero $f(n) < \alpha$ también, que es la contradicción que queremos. Por lo tanto, $\alpha$ no está en ninguna parte de la lista. Por lo tanto, los ordinales contables son incontables.
En cuanto a si los ordinales contables son el primer ordinal incontable, utiliza de nuevo el hecho de que cada ordinal es isomorfo de orden al conjunto ordenado de ordinales menores que él. El tipo de orden de los ordinales contables debe ser el primer ordinal incontable, porque todos los ordinales menores que él son contables, a partir del isomorfismo de orden con los ordinales contables.
Timothy
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29
Demostraré sin asumir el axioma de elección que hay incontables ordinales contables. En primer lugar, mostraré que existe un conjunto de todos los ordinales contables.
Tomemos el conjunto de todas las relaciones de buen orden sobre el conjunto de todos los números naturales. Sea $f$ sea la función que asigna a cada una de las relaciones de ese conjunto su tipo de orden. Por el axioma de sustitución, hay un conjunto de todas las imágenes de esa función, y es el conjunto de todos los ordinales contables infinitos. Por el axioma de unión, la unión de ese conjunto y el conjunto de todos los ordinales finitos es también un conjunto, y ése es el conjunto de todos los ordinales contables.
Por definición, $\omega_1$ es el ordinal más pequeño que el conjunto de todos los números ordinales menores que él es incontable, si es que existe tal ordinal. El sumo del conjunto de todos los ordinales contables es $\omega_1$ así que $\omega_1$ existe. Por lo tanto, el conjunto de todos los ordinales contables es incontable.
schinkenspreizer
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1
No estoy seguro, si la gente no está haciendo esto demasiado difícil al mirar un caso generalizado.
Si miras el cardinal sucesor de Omega, es la unión de todos los ordinales inferiores a él. Si sólo hubiera un número contable, entonces sería la unión de un número contable de conjuntos contables, y por lo tanto, contable.
