Producto en la teoría de categorías

Question

Captura de pantalla de este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Bsdl_NKbNnU&index=8&list=PLbgaMIhjbmEnaH_LTkxLI7FMa2HsnawM_

Bartosz hablaba de la definición de producto en la teoría de categorías:

Sea $c',c, a, b$ sean objetos de una categoría, y $p, q, p', q', m$ sean flechas, tales que

• $p: c \rightarrow a$
• $q: c \rightarrow b$
• $p': c' \rightarrow a$
• $q': c' \rightarrow b$
• $m$ es la única flecha desde $c'$ a $c$

A continuación puso un ejemplo en programación informática (donde los objetos son tipos):

• $c$ es (Int, Bool)
• $c'$ es (Int, Int, Bool)
• $m$ es una función que toma los elementos 1 y 3 de la tupla y devuelve una nueva tupla con ellos
• $p$ es una función que devuelve el primer elemento de la tupla (un Int ).
• $q$ es una función que devuelve el segundo elemento de la tupla (a Bool ).
• $p'$ es una función que devuelve el primer elemento de la tupla (un Int ).
• $q'$ es una función que devuelve el tercer elemento de la tupla (a Bool ).

A continuación dijo que $c$ es "mejor" que $c'$ debido al paso adicional $m$ . Estoy pensando, ¿y si también hay un $m': c \rightarrow c'$ ? Se puede imaginar fácilmente una función que tome un (Int, Bool) a (Int, Int, Bool) Para un ejemplo trivial, basta con poner un 0 en medio. ¿Podría alguien ayudarme a entender esto?

Answer 1

En tu ejemplo, puedes imaginar un mapa $c \to c'$ que conmuta correctamente con $p,q,p',q'$ e inserta un $0$ en el centro. Pero también podría insertar un $1$ o un $2$ o cualquier otra cosa.

Así, en cierto sentido, $c'$ contiene información totalmente irrelevante para el producto.

Por otro lado, el mapa $m : c' \to c$ que hace que el diagrama conmute es única; la condición de que los mapas compuestos $c' \xrightarrow{m} c \xrightarrow{p} a$ y $c' \xrightarrow{m} c \xrightarrow{q} b$ tiene que ser igual a $p'$ y $q'$ determina completamente lo que el mapa $c' \to c$ tiene que serlo.

Esta noción es en realidad una de las muchas formas de definir el producto: como objeto $c$ junto con una familia de biyecciones $$ \eta_d : \hom(d, c) \cong \hom(d, a) \times \hom(d,b) $$ que es natural en $d$ . (es decir $\eta$ un isomorfismo natural entre las dos $\mathbf{Set}$ -functores valorados $\hom(-,c)$ y $\hom(-,a) \times \hom(-,b)$ )