¿Para qué valor de una variable da solución un sistema lineal?

Question

Así que esta pregunta me ha parecido muy vaga y estoy luchando por entenderla y creo que estoy cerca de la solución pero no estoy seguro de que sea correcta. La pregunta se refiere a un sistema lineal así:
$x_1+2x_4=1$
$2x_1+x_3+3x_4=2$
$x_1+x_3+x_4=a$
Que convertí en una matriz aumentada:
$$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & a\end{matrix}\right]$$
Así que me piden que reduzca esto a la forma escalonada reducida, que encuentre para qué valores de a el sistema tiene soluciones, y que escriba esas soluciones en forma vectorial, por ejemplo. $[x_1,x_2,x_3,x_4]$ . La parte donde esto se vuelve difícil para mí es que había reducido el sistema tanto como pude hasta esto:
$$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a-1\end{matrix}\right]$$
Y supongo que el sistema sólo tiene un tipo de solución, que es el caso de soluciones infinitas donde $a=1$ .
Mi pregunta es: ¿estoy ciego o éste es el único valor de a para el que este sistema tiene solución, y cómo se supone que debo escribir la solución de un sistema para el que hay infinitas soluciones?