Función positiva que no desaparece en una vecindad

Question

Sea $f\in C[-1,1]$ tal que $f(x)\geq 0$ para todos $x\in [-1,1]$ y $f$ no es idénticamente cero en ninguna vecindad de $-1$ entonces existe $\epsilon>0$ tal que $f(x)>0$ para todos $x\in (-1,-1+\epsilon)$ .

Me parece obvio cuando intento hacer dibujos, sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrarlo formalmente. Si la función es estrictamente mayor que cero en $-1$ entonces está claro. Pero ¿cómo tratar el caso en que la función desaparece en $-1$ ?

Answer 1

El teorema no es cierto, porque si dejamos que: $$g(x) = \begin{cases} (x+1)^2 \sin\left( \frac{1}{x+1} \right) & x\ne -1\\ 0 & x=-1 \end{cases}$$

Entonces $f(x) = \left(g(x)\right)^2$ es continua (incluso diferenciable) en todas partes, no idénticamente cero en ningún intervalo, y sin embargo cero infinitamente a menudo en cualquier intervalo $(−1,−1+\varepsilon)$