Mientras repasaba el cálculo, más bien análisis, de Spivak, encontré un ejemplo interesante y cuestionable.
Sea $\frac{p}{q}$ estar en sus términos más bajos; $p$ y $q$ son números enteros sin factores comunes y $q > 0$ Si $f(x) = \begin{cases}0 & \text{$x$ is irrational} \\ \frac{1}{q} & x = \frac{p}{q}, 0 < x < 1 \end{cases}$
Demuestre que $f(x)$ se acerca a $0$ como $x$ se acerca a $0$
Utilizando la definición real, no sólo la idea aproximada, debemos demostrar que esto es cierto.
Definición: Para cada $\epsilon > 0$ hay algo de $\delta > 0$ tal que, para todo $x$ si $0 < |x - a| < \delta$ entonces $|f(x) - l| < \epsilon$ Esto es si $f$ se acerca al límite $l$ cerca de $a$ .
Así que.., $a = 0$ y $l = 0$ en realidad no elegimos un $\delta$ Sólo lo usamos analíticamente.
$0 < |x| < \delta$ porque podemos elegir un $\delta > |x|$ Tenemos que hacer, $|f(x)| < \epsilon$
Consideremos $g_1(x) = 0$ donde $x$ es primero irracional. $0 < |x| < \delta_1$ entonces demuestre $|0| < \epsilon$
Es cierto desde $\epsilon > 0$ la primera parte está hecha entonces.
Consideremos $g_2(x) = \frac{1}{q}, x= \frac{p}{q}, 0 < x < 1$ $0 < |x| < \delta_2$ entonces demuestre $\frac{1}{q} < \epsilon$
Desde $0 < x < 1$ , $0 < q < \infty$ y $p < q$ porque $0 < x < 1$
¿Cómo lo hacemos entonces?
Cualquier idea será bien recibida. Gracias.
