Integración con logaritmo en números complejos

Question

Quiero integrar $$\int_0^{2\pi}\dfrac{2ie^{it}}{2e^{it}-1}dt$$ Normalmente, al integrar una función real, $$\int \dfrac1x=\log|x|$$

Pero aquí la función es compleja. ¿Es correcto decir que

$$\int\dfrac{2ie^{it}}{2e^{it}-1}dt=\log|2e^{it}-1|$$ y por lo tanto $$\int_0^{2\pi}\dfrac{2ie^{it}}{2e^{it}-1}dt=\log|1|-\log|1|=0?$$

Answer 1

Tu respuesta no es correcta, ya que la antiderivada no contiene el signo absoluto: $$ \int \frac{2 i \mathrm{e}^{i t}}{2 \mathrm{e}^{i t}-1} \mathrm{d}t = i t + \log\left(2 - \mathrm{e}^{-i t}\right) + C $$ En $\log$ El argumento de $2 - \mathrm{e}^{-i t}$ no cruza $\log$ como $t$ atraviesa $0\ldots2\pi$ por lo que se aplica el teorema fundamental del cálculo: $$ \int_0^{2\pi} \frac{2 i \mathrm{e}^{i t}}{2 \mathrm{e}^{i t}-1} \mathrm{d}t = \left[ i t + \log\left(2 - \mathrm{e}^{-i t}\right) \right]_0^{2\pi} = 2 \pi i $$

Alternativamente, puede observar que con $z=\mathrm{e}^{i t}$ la integral se convierte en: $$ \oint_{|z|=1} \frac{2 \mathrm{d}z}{2z-1} = \oint_{|z|=1} \frac{ \mathrm{d}z}{z-\tfrac{1}{2}} = \operatorname{Res}_{z=\tfrac{1}{2}} \frac{1}{z-\tfrac{1}{2}} = 2 \pi i $$