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Mostrar el siguiente límite $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_0^1\frac{f(x)}{1+nx^2}\text{d}x=\frac{\pi}{2}f(0)$

Demostrar que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_0^1\frac{f(x)}{1+nx^2}\text{d}x=\frac{\pi}{2}f(0),$$ donde $f(x)$ es una función continua en $[0,1].$

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mookid Puntos 23569

$$ \sqrt{n}\int_0^1 \frac{f(x)}{1+nx^2}dx =\int_0^\sqrt{n} \frac{f(u/\sqrt{n})}{1+u^2} du = \int_0^\infty f_n(x)dx $$ Aquí, $f_n(u) = 1_{u\le \sqrt{n}} {f(u/\sqrt{n})}/(1+u^2)\to f(0)/(1+u^2)$ (convergencia puntual) y $$\int_0^\infty \sup_n|f_n(x)| dx \le \sup |f|\int_0^\infty \frac{du}{1+u^2}<\infty $$ (dominación), por lo que el teorema de convergencia dominada establece: $$ \sqrt{n}\int_0^1 \frac{f(x)}{1+nx^2}dx \to \int_0^\infty f(0)\frac{du}{1+u^2} = \frac{\pi f(0)}{2} $$

Nota: sólo se necesita continuidad en 0 y acotación (¡y mensurabilidad!) de $f$ en $[0,1]$ para concluir.

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