Proceso de Poisson Probabilidad condicional Pregunta

Question

Esperaba que me verificasen si voy por el buen camino y si estoy haciendo/planteándome correctamente el siguiente problema:

Los clientes llegan a una instalación de servicios según un proceso de Poisson de tasa $\lambda$ = 5 por hora. Dado que durante las dos primeras horas de servicio llegaron 12 clientes, ¿cuál es la probabilidad condicional de que lleguen 5 clientes durante la primera hora?

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Sea X(t) = el número de clientes llegados hasta la hora t. Fije las horas tales que 0 < s < t. Entonces quería utilizar la fórmula de probabilidad condicional Pr{X(t)=n+k|X(s)=n}. Así que, basándome en lo que he entendido de esta pregunta, he hecho Pr{X(2)=12|X(1)=5}, por lo que s=1, t=2, n=5 y k=7. Resolviendo esto, obtengo Pr{X(1)=7}, por lo que para un proceso de Poisson con tasa $\lambda$ =5, esto es $\frac{{e^{-35}}5^7}{7!}$ = 15.5 $e^{-35}$

¿Es correcto?

Answer 1

Podemos mecánicamente utilizar la fórmula definitoria de la probabilidad condicional. Como ejercicio, realizaremos el proceso. Pero el resultado final es tan sencillo que invita a seguir pensando.

Sea $B$ ser el caso de que hubiera $12$ en las dos primeras horas, y dejar que $A$ ser el caso de que hubiera $5$ en la primera hora. Queremos $\Pr(A|B)$ . Esto es $\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}$ .

Calcula. El número de llegadas en $2$ horas es Poisson con parámetro $10$ Así que $\Pr(B)=e^{-10}\frac{10^{12}}{12!}$ .

Para el acontecimiento $A\cap B$ Tenga en cuenta que esto ocurre si hay $5$ en la primera y $7$ en el segundo. Esto tiene probabilidad $\left(e^{-5}\frac{5^{5}}{5!}\right)\left( e^{-5}\frac{5^{7}}{7!}\right)$ .

Divide. Los poderes de $e$ se cancela, y terminamos con algo que puede ser muy familiar para usted de su experiencia con la distribución binomial. Con un poco de manipulación, llegamos a $$\binom{12}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}.$$

Añadido: Una respuesta tan sencilla merece una explicación sencilla. Tuvimos $12$ incidencias de la llegada de un cliente. Etiquete estos $12$ clientes de forma arbitraria y aleatoria. Llamar a un cliente consulte si llega en la primera hora. La probabilidad de que un cliente elegido al azar entre los $12$ es prompt es $\frac{1}{2}$ ya que es igual de probable que haya llegado en la primera hora que en la segunda. Por tanto, la probabilidad de que exactamente $5$ de la $12$ los clientes son puntuales es $\binom{12}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ .

Observaciones: $1.$ Deberías rastrear el caso general. Tenemos una Poisson con tasa $\lambda$ (por hora). Dado que había $n$ llegadas en el primer $a+b$ horas, ¿cuál es la probabilidad de que haya $k$ arivales en la primera $a$ ¿horas? Realiza el mismo cálculo de probabilidad condicional. Obtendrá una expresión familiar "de tipo binomial". Ahora explique por qué el resultado es "obvio" y la maquinaria de la probabilidad condicional no era necesaria.

$2.$ Dado que había $12$ éxitos en $2$ horas, el caso de que hubiera $5$ en la primera hora no suena improbable. Así que la cifra obtenida en el post es demasiado pequeña en varios órdenes de magnitud.