Problema de derivación de series geométricas infinitas

Question

No entiendo cómo se deriva la parte puntiaguda de la segunda línea. ¿Puede alguien explicarlo, por favor?

Answer 1

Sabes que $S_0=\sum_1^\infty a^k = \dfrac{a}{1-a}$ desde el azul

Consideremos ahora $S_1=\sum_1^\infty k \,a^k$

Usted tiene $aS_1 = \sum_1^\infty a k \,a^k = \sum_1^\infty k \,a^{k+1} = \sum_2^\infty (k-1) \,a^{k} = \sum_1^\infty (k-1) \,a^{k} = S_1-S_0$

así que $aS_1 = S_1-S_0$ y así $(1-a)S_1=S_0=\dfrac{a}{1-a}$

dando $S_1=\dfrac{a}{(1-a)^2} = \dfrac{1}{(1-a)^2} - \dfrac{1}{1-a}$

Aquí $a=\dfrac{e^t}{2}$