Radicales de Jacobson de anillos de grupo

Question

$4 b)$

(i) ¿Alguna pista?

(ii) Pozo $R$ no es semisimple ya que $|\mathbb{Z}/3|=3=0 \in F_3$ por la inversa del teorema de Maschke.

(iii) El suryectivo $\mathbb{C}$ -mapa de álgebra $\phi:R \to M_2(\mathbb{C})\times\mathbb{C}\times\mathbb{C}: (a_{i,j}) \mapsto \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix},a_{33},a_{44}$ tiene un núcleo nilpotente y un objetivo semisimple, por lo que el núcleo es el radical de Jacobson, es decir. \begin{bmatrix} 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Ejemplo de solución que puede ayudar con iii)

Answer 1

(i) Si conoces el teorema de Maschke (como insinúas en (ii)) entonces ya sabes la respuesta a esto ya que el orden de $D_8$ es $8$ .

(ii) Sí. Y ni siquiera sería demasiado difícil exhibir algún elemento nilpotente no nulo para demostrar que el radical de Jacobson es no nulo.

(iii) Puedes utilizar exactamente la misma lógica aquí en esta pregunta similar . No estoy seguro de su intento. Un homomorfismo suryectivo de $R\to M_2(\mathbb C)\times \mathbb C\times \mathbb C$ tendría una imagen de seis dimensiones y una $6$ kernel dimensional (no $4$ dimensional). Pero parte de la lógica en el otro post confirma que se puede encontrar un homomorfismo onto $M_2(\mathbb C)\times M_2(\mathbb C)$ que tiene y $8$ -y la imagen $4$ -dimensional que describes. Como el cociente tiene radical cero de Jacobson, es decir exactamente el radical Jacobson de $R$ entonces.