Propagación en tiempo imaginario , ecuación de Gross-Pitaevskii

Question

Al derivar la ecuación de Gross-Pitaevskii ya suponemos que todos los átomos se encuentran en el estado fundamental. Basándonos en esta suposición, minimizamos el funcional de energía y obtenemos la ecuación de Gross-Pitaevskii (GPE).

GPE nos da la densidad del condensado.

Lo que no entiendo es que en el método de propagación en tiempo imaginario, escribimos la función de onda del condensado (que nos da la densidad) como una superposición de funciones propias correspondientes a diferentes valores propios de energía.

Se dice que cuando nos propagamos en tiempo imaginario obtenemos el estado fundamental del condensado.

Pero la GPE ya es una ecuación para la función de onda del estado terreno ya que todos los átomos están en el estado terreno. Entonces, ¿qué significa encontrar el estado fundamental del BEC utilizando el método del tiempo imaginario?

Según tengo entendido, todas las soluciones deberían tener las mismas energías, ya que todos los átomos se encuentran en el estado fundamental.

Answer 1

La GPE no interactiva no es más que la ecuación de Schrödinger. ¿La ecuación de Schrödinger sólo se cumple en los estados básicos? No.

La minimización funcional de la energía (o de la acción, en general) en realidad no se preocupa por las energías propias de las soluciones del GPE . Para minimizar la función de energía (acción) de forma que $\delta E = 0$ ( $\delta S=0$ ), necesita el solución $\phi$ seguir un camino determinado.
Esa trayectoria viene dada por la ecuación del movimiento.

Dada una acción $S = \int L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\mathrm{d}t$ se pueden derivar las ecuaciones de Euler-Lagrande que darán como resultado la ecuación de movimiento del campo o campos: $$\delta S = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}}} =0, $$ así que cualquier ( $\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}$ ) que satisfaga la ecuación de Euler-Lagrange (sin importar su energía) dará que el RHS = 0 y por lo tanto $\delta S= 0$ .

El razonamiento es esencialmente el mismo para el funcional energético y el GPE.

Si su solución $\phi$ satisface el GPE, entonces minimiza el funcional de energía $\delta E$ . Sin embargo, puede haber varios $\phi_i$ que satisfacen el GPE, y todos te dan un funcional estacionario. Es lo mismo que la solución de $\partial_x (\sin(x)) = 0$ da muchas soluciones, cada una con $x$ pero todos ellos le ofrecen un mínimo de la función.

La evolución en tiempo imaginario encuentra entonces la solución al GPE específico (es decir, con un potencial especificado $V$ y la energía de interacción $U_0$ ) con el valor propio de menor energía. Siempre que su conjetura inicial tenga un solapamiento finito con el verdadero estado básico.