Esta pregunta aparece en la serie del anime Steins; Puerta.
¿Es el valor de $A$ determinado únicamente por las tres áreas y el hecho de que los ocho segmentos en los bordes tienen la misma longitud? Si es así, ¿cómo puede $A$ se determina?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este problema puede ser resuelto por mostrar que el opuesto de las áreas en el diagrama que se debe agregar en el mismo valor. Esto se demuestra a continuación. A partir de esto solo tenemos que resolver $$ 20 \; + \;?\; = 32 + 16 $$ y la falta de la zona es de $28$.
La proposición: $\boldsymbol{[HDEX] + [FBGX] = [EAFX] + [GCHX]}$.
Prueba. Esto es suficiente para mostrar que $$ [HDEX] + [FBGX] = \frac12 [ABCD] $$ La razón de la siguiente manera. \begin{align*} \frac12 [ABCD] Y= [HDEY] + [FBGY] \\ Y= [HDEX] + [EYX] + [XYH] + [FBGY] \\ \end{align*} Desde $\triángulo EYX$ y $\triángulo GYX$ cada uno tiene la mitad de la base de $\triángulo EGX$, tienen la misma área. Del mismo modo $\triángulo XYH$ y $\triángulo XYF$ tienen la misma área. Por lo que la anterior
\begin{align*} Y= [HDEX] + [GYX] + [XYF] + [FBGY] \\ Y= [HDEX] + [FBGX] \\ \end{align*}
como se desee.
JohnJohnGa
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111
Supongamos que la figura es un cuadrado como éste:
Que $I$ y $H$ puntos de lados $AD$ y $AC$ tal que $ $IKHA es un rectángulo.
Que $IG = x$ y $HF = y$, obtenemos tres ecuaciones: $$ w ^ 2 - \frac{(x+y)} {2} w = 16 w$ $ $$ ^ 2 + \frac{(x-y)} {2} w = 20 w$ $ $$ ^ 2 + \frac{(x+y)} {2} w = 32$ $ resolviendo este sistema obtenemos: w $$ = \sqrt{6}$$ 2 y el área que falta es: $$ A = 28$ $
maira hedge
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1
Pongamos nombre a las áreas de $A_1, A_2, A_3, A_4$ en sentido antihorario el fin de la esquina superior derecha, por lo que $A_4$ es la zona desconocida, y dejar $d$ ser la longitud del segmento, por lo que el área total del cuadrado es de $(2d)^2 = 4d^2$. Deje que $P$ ser el distinguido punto en el medio de la plaza. Obviamente hemos de $$A_1+A_2+A_3+A_4=4d^2,$$, que no ayudan mucho. Pero podemos hacer algo mejor que esto. Conecte la línea de segmentos a partir de los puntos medios de la plaza, haciendo un pequeño cuadrado con la mitad de la superficie de la original.
El resultado más pequeño cuadrado tiene lados de longitud $\sqrt 2 d$, y los cuatro zonas cortadas por la misma línea de $P$ dada por $A_i-\frac{d^2}{2}$. Podemos expresar estas áreas utilizando la fórmula del área del triángulo, con las bases dadas por los lados del cuadrado más pequeño: Caída perpendiculares desde $P$ a los lados del cuadrado más pequeño, y denotan la resultante de las alturas por $h_1, h_2, h_3,$ y $h_4$ respectivamente. Entonces $A_i-\frac{d^2}{2} = \frac{1}{2}(\sqrt 2 d)(h_i)$. Ahora aquí está el punto clave: busca en la imagen geométrica, se puede observar que $h_1+h_3 = h_2+h_4 = \sqrt 2 d$, por lo que poner que juntos, nos dan $$A_1-\frac{d^2}{2} + A_3-\frac{d^2}{2} = \frac{1}{2}(\sqrt 2 d)(h_1+h_3) = \frac{1}{2}(\sqrt 2 d)(\sqrt 2 d) = d^2,$$ o $$A_1+A_3=2d^2.$$ Del mismo modo obtenemos $A_2+A_4=2d^2$. Esto nos permite resolver tanto $A_4$ y $d$.
Tenga en cuenta que estas ecuaciones sentido todavía si $P$ es no en el interior de la plaza; solo tenemos que darle firmado valores de los $h_i$.
Aquí tenéis una imagen para ilustrar:
Mis habilidades de edición de imágenes chupar, o el original de la imagen no a escala. De cualquier manera, esperemos que esto hace que sea más clara. La figura debe ser un cuadrado en el interior de la plaza mayor, de modo que los lados deben ser perpendiculares e iguales en longitud a cada uno de los otros. Lo que me he marcado es el de cuatro alturas $h_1, h_2, h_3,$ y $h_4$. Habría tenido muy apretado, si había marcado las áreas así, pero ellos están en el mismo respectivas regiones. Si alguien quiere ofrecer una mejor imagen, por favor siéntase libre!
Zell Faze
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223
En primer lugar, supuse que esto era realmente una plaza, y no un cuadrado con las esquinas redondeadas. Me atrajo el diagrama en una hoja de papel cuadriculado y con la etiqueta de la || segmento que tiene la longitud de x, por lo que el verdadero centro de la plaza se encuentra en (x, x).
Luego he etiquetado el punto de encuentro de los segmentos internos como (x-b x-a), o una de las unidades por debajo del centro y b unidades a la izquierda del centro.
Así tenemos $\etiqueta{1} \label{1}$: $$\begin{align} \\ 20 y = (x-b)(x) + \frac12(x-b)(a) + \frac12(b)(x+a) \\ y = x^2 - bx + \frac12ax - \frac12ab + \frac12ab + \frac12bx \\ y = x^2 + \frac12ax - \frac12bx \end{align}$$
Del mismo modo $\etiqueta{2} \label{2}$: $$\begin{align} 32 y = (x+b)(x+a) - \frac12(b)(x+a) - \frac12(a)(x+b) \\ y = x^2 + ax + bx + ab - \frac12bx - \frac12ab - \frac12ax - \frac12ab \\ y = x^2 + \frac12ax + \frac12bx \end{align}$$
Y $\etiqueta{3} \label{3}$: $$\begin{align} 16 y = (x-a)(x-b) + \frac12(a)(x-b) + \frac12(b)(x-a) \\ y = x^2 - ax - bx + ab + ab + \frac12ax - \frac12ab + \frac12bx - \frac12ab \\ y = x^2 - \frac12ax - \frac12bx \end{align}$$
La adición de ecuaciones \ref{2} y \ref{3}, nos encontramos con que $2x^2 = 48$, entonces $x = 2\sqrt6$. Restando la ecuación \ref{3} de la ecuación \ref{1}, nos encontramos con que $ax = 4$, entonces $a = \frac13\sqrt6$. Restando la ecuación \ref{1} de la ecuación \ref{2}, nos encontramos con que $bx = 12$, entonces $b = \sqrt6$.
La solución para que Un: $$\begin{align} A & = (x)(x-a) + \frac12(b)(x-a) + \frac12(a)(x+b) \\ y = x^2 - ax + \frac12bx - \frac12ab + \frac12ax + \frac12ab \\ y = x^2 - \frac12ax + \frac12bx \end{align}$$
El taponamiento en los valores de $x$, $a$ y $b$ que hemos encontrado anteriormente, obtenemos: $$A = 28$$
