\def\a{\alpha}\def\b{\beta}\def\g{\gamma}\def\t{\theta} \def\l{\lambda}\def\s{\sigma}\def\e{\varepsilon} \def\o{{\tt1}}\def\p{\partial} \def\A{{\cal A}}\def\B{{\cal B}}\def\C{{\cal C}} \def\E{{\cal E}}\def\F{{\cal F}}\def\G{{\cal G}} \def\L{\left}\def\R{\right}\def\LR#1{\L(#1\R)} \def\trace#1{\operatorname{Tr}\LR{#1}} \def\grad#1#2{\frac{\p #1}{\p #2}} \def\c#1{\color{red}{#1}} Defina los productos de contracción simple y doble entre tensores como \eqalign{ \F &= \A\cdot\B \quad&\implies\quad &F_{ij\ell ps}&=\sum_{k=\o}^n \A_{ij\c{k}}\B_{\c{k}\ell ps} \\ \G &= \A:\B \quad&\implies\quad &\G_{i\ell ps}&=\sum_{j=\o}^m\sum_{k=\o}^n \A_{i\c{jk}}\B_{\c{jk}\ell ps} \\ } Consideremos ahora un tensor de cuarto orden cuyos componentes (en términos de símbolos delta de Kronecker) son \E_{ijk\ell} = \delta_{ik}\delta_{j\ell} Este tensor es el identidad con respecto al producto de doble contracción. Además, puede utilizarse para reordenar productos matriciales ordinarios, es decir \eqalign{ &A = \E:A = A:\E \\ &A\cdot B\cdot C = \LR{A\cdot\E\cdot C^T}:B \\ } Aplicando estas ideas al producto en cuestión se obtiene \eqalign{ C &= A\cdot B \\ dC &= dA\cdot B = \LR{\E\cdot B^T}:dA \\ \grad{C}{A} &= \E\cdot B^T \\ } En forma de componente, se convierte en \eqalign{ \grad{C_{ij}}{A_{k\ell}} = \sum_{p=\o}^n \E_{ijk\c{p}} B_{\c{p}\ell}^T = \sum_{p=\o}^n \delta_{ik}\delta_{j\c{p}} B_{\ell\c{p}} = \delta_{ik} B_{\ell{j}} \\\\ }
Tenga en cuenta que si está trabajando en un espacio plano (que es el caso de la mayoría de los usos de ingeniería y empresariales de las matrices multidimensionales), no hay necesidad de distinguir entre componentes covariantes/contravariantes.
Por lo tanto, se puede utilizar una notación simplificada en la que todos los índices se escriben como subíndices. Y la convención de Einstein se aplica a cualquier subíndice repetido, por ejemplo A_{ij}B_{jk} \quad\implies\quad \sum_{j=\o}^n A_{i\c{j}}B_{\c{j}k}
