Sistemas lineales y no lineales

Question

Me confunde la diferencia entre sistema lineal y no lineal. Supongamos que tenemos un sistema lineal

$$\begin{equation}\label{1} Ax=b \tag{1} \end{equation}$$

con $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ y $b\in \mathbb{R}^{n}$ y definimos el $x$ como función no lineal

$$\begin{equation} x(t) = \sin(2\pi t) + \sin(3\pi t) \quad \text{where} \quad t=1,2,\dots,n \tag{2} \end{equation}$$

mi pregunta es, ¿depende la linealidad del sistema (1) de la naturaleza de $x$ ( que puede ser una función lineal o no lineal)?. En el caso de que el sistema (1) permanezca siempre lineal mientras tome la forma de $A x$ no importa cómo $x$ ¿es posible transformarlo en un sistema no lineal añadiendo un término no lineal? Un término como $e^{x(t)}$ o $x(t)^{2}$ ? es el sistema $Ax(t) + e^{x(t)} = b$ ¿una no lineal o un ejemplo?

Gracias por sus explicaciones y su ayuda.

Answer 1

En un sistema lineal de ecuaciones, $x$ es el vector de variables . No es un vector de funciones, por lo que hablar de $x(t)$ no es realmente sensato. En su escrito, primero dice que $x\in\mathbb R^n$ pero luego usas el término $x(t)$ . Esto no tiene sentido. $x$ puede ser un vector o una función, pero no ambos a la vez.

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Dicho esto, "sistema lineal" es un término mal definido. Existen múltiples conceptos matemáticos que se denominan "sistema lineal, etc.". Por ejemplo, hay sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, pero probablemente no estés hablando de ellos.

Un sistema lineal de ecuaciones es cualquier conjunto de ecuaciones lineales. Cualquier conjunto de ecuaciones puede escribirse de forma compacta como $Ax=b$ para alguna matriz fija $A$ y algún vector fijo $b$ .

Answer 2

Consideremos primero un sistema de ecuaciones, en el que sólo tenemos un ecuación. Entonces se llama lineal si es de la forma $$a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,$$ para constantes $a_i,b\in K$ y variables $x_i$ . Se denomina polinomio si es de la forma $$f(x_1,\ldots ,x_n)=0,$$ para un polinomio $f\in K[x_1,\ldots ,x_n]$ . Por ejemplo, $$3z^2y^7-28xyz+17z-28xy+515=0$$ en las variables $x,y,z$ y coeficientes racionales.

Es no lineal si no es lineal. Ahora un sistema de ecuaciones sólo significa que tenemos varias ecuaciones de este tipo, que queremos resolver simultáneamente.

Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones polinómicas no lineales $$x+y+z=1$$ $$x^2+y^2+z^2=35$$ $$x^3+y^3+z^3=97$$