$R^2-\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ no tiene la estructura de grupo topológico

Question

Sea $n>1$ . Necesito demostrar que el espacio $X=\mathbb{R}^2-\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ no tiene la estructura de grupo topológico.

Se trata de un ejercicio sobre la Teorema de Van Kampen . Ciertamente, deberíamos demostrarlo por contradicción, pero no sé cómo conseguir esta contradicción.

Answer 1

El grupo fundamental de un grupo topológico es siempre abeliano. Y es fácil demostrar que el espacio dado tiene grupo fundamental no abeliano.

Prueba de la afirmación en negrita:

Sea $a$ y $b$ sean dos bucles en un grupo topológico $(G,\bullet )$ a partir del elemento de identidad $e$ . Necesitamos mostrar $a\ast b \simeq b\ast a$ donde " $\ast$ " es la operación fundamental de grupo.

Ahora, para cada $t,s\in [0,1]$ define

$F_t(s)=a(st)\ast(a(t)\bullet b(s))\ast \bar a(st)$

Claramente { $F_t$ } da la homotopía entre $b$ y $a\ast b \ast \bar a$ .

( Podemos suponer que el grupo topológico camino conectado )