Consideremos la secuencia exacta $0 \to \Bbb Z \overset{2}{\to} \Bbb Z \Bbb Z/2 0$ . Demostrar que existe una secuencia exacta larga
$\ldots H_k(X) \overset{2}{\to} H_k(X) H_k(X; \Bbb Z/2) H_ {k1} (X) · · ·$
Aquí $H_k(X)$ son los grupos de homología kth (menciono esto a raíz del comentario de AndreasBlass) .
(Perdón por mis habilidades de edición en secuencias exactas , es simplemente el mapa $2 \times$ homomorfismo del objeto más a la izquierda al siguiente objeto )
Déjalo, $0 \Bbb Z \overset{2}{\to} \Bbb Z \Bbb Z/2 0 \ldots (*)$
Entonces, el tensado $(*)$ con $H_k(X)$ da, $$H_k(X) \otimes\Bbb Z \overset{2}{\to} H_k(X) \otimes\Bbb Z H_k(X) \otimes \Bbb Z/2 0 $$ $$\implies H_k(X) \overset{2}{\to} H_k(X) H_k(X) \otimes \Bbb Z/2 0 \ldots(**)$$
Pero también tenemos del teorema del coeficiente universal, $$0\to H_k(X) \otimes \Bbb Z/2 \to H_k(X;\Bbb Z/2) \to Tor(H_{k-1}(X);\Bbb Z/2) \to 0 \dots(***)$$
Luego probé a combinar $(**)$ y $(***)$ , $$H_k(X) \overset{2}{\to} H_k(X) \to H_k(X;\Bbb Z/2) \to Tor(H_{k-1}(X);\Bbb Z/2) \to 0 $$
En primer lugar, no sé si esto tiene algún sentido, ¡de todas formas estoy atascado aquí!
Gracias de antemano por la ayuda.
