¿Cómo crear proyectiva del plano de un campo finito?

Question

He escuchado y leído claro menciones de los vínculos entre los planos proyectivos finitos campos.

Es posible construir un proyectiva del plano (o una Steiner sistema) comenzando con un campo? Podría usted, por ejemplo, construir el plano de Fano con la ayuda de un campo finito?

Answer 1

Hay una diferencia entre el plano proyectivo como un objeto de geometría algebraica y como una combinatoria de la construcción (=Steiner sistema) que no se ha explicado adecuadamente. El primero hace sentido sobre cualquier campo - el último sólo sobre un campo finito (junto con las especulaciones de que ningún campo puede ser necesario para la necesaria construcción de existir).

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Dado cualquier campo $F$ podemos construir el conjunto $\mathbb{P}^2(F)$ en la forma habitual: es el conjunto de clases de equivalencia $S/\sim$$F^3\setminus\{(0,0,0)\}$, en el que dos vectores no nulos $x=(x_1,x_2,x_3)$ $y=(y_1,y_2,y_3)$ $F^3$ son llamados equivalente, denotado $x\sim y$, si existe un escalar $\lambda\in F^*$ tal que $y_i=\lambda x_i$ todos los $i=1,2,3.$

Los "puntos" de $\mathbb{P}^2(F)$ son clases de equivalencia, sino de identificar necesitamos utilizar coordenadas. Para ello necesitamos un conjunto de representantes - uno de cada clase de equivalencia. Una popular manera de conseguir eso es la selección de $\lambda$ de tal manera que el último no-cero de coordenadas es igual a $1$. Después de todo, si $x_3\neq0$, tenemos (con $\lambda=1/x_3$) $$ (x_1,x_2,x_3)\sim (\frac{x_1}{x_3},\frac{x_2}{x_3},1). $$ Podemos igualmente elegir a escala de la primera no-cero de coordenadas a ser igual a uno, si así lo desea.

Si $F$ es finito, es decir $|F|=q$, esto significa que no se $q^2+q+1$ elementos en $\mathbb{P}^2(F)$:

1. $q^2$ clases de equivalencia con los representantes $(x,y,1)$, $x,y\in F$ arbitrario.
2. $q$ clases de equivalencia con los representantes $(x,1,0)$, $x\in F$ arbitrario.
3. Una sola clase de equivalencia con el representante de $(1,0,0)$.

Así, en un camino de $\mathbb{P}^2(F)$ es la unión de una "costumbre" (afín) plano, una recta y un punto. Si $F=\{0,1,2\}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $9+3+1=13$ elementos (las clases de) $P_1=(0,0,1)$, $P_2=(0,1,1)$, $P_3=(0,2,1)$, $P_4=(1,0,1)$, $P_5=(1,1,1)$, $P_6=(1,2,1)$, $P_7=(2,0,1)$, $P_8=(2,1,1)$, $P_9=(2,2,1)$, $P_{10}=(0,1,0)$, $P_{11}=(1,1,0)$ $P_{12}=(2,1,0)$ $P_{13}=(1,0,0)$ . La relación de equivalencia significa que comparamos, por ejemplo, el punto de $(2,1,2)$ $2(2,1,2)=(1,2,1)=P_6$ y el punto de $(1,2,0)$ con el poin $2(1,2,0)=(2,1,0)=P_{12}$. En el campo de la $q$ elementos hay $q-1$ cero constantes, por lo que en general $q-1$ $F^3$ formulario de una sola clase de equivalencia. Estos son los no-cero los puntos de un 1-dimensional subespacio de $F^3$, y un útil punto de vista es pensar en puntos de $\mathbb{P}^2(F)$ como líneas a través de la procedencia en $F^3$.

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Para obtener la combinatoria de diseño llamado el plano proyectivo también debemos especificar ciertos subconjuntos de a $\mathbb{P}^2(F)$, llamado "líneas". Estos están construidos con la siguiente receta. Deje $U\subset F^3$ ser de cualquiera de los 2-dimensional en el subespacio. A continuación, la línea de $L_U$ se compone de las clases de equivalencia de la no-cero puntos de $U$. Como $U$ es un subespacio, es cerrado bajo la multiplicación escalar. Por lo tanto, $U$ es una unión de clases de equivalencia. Si $|F|=q$, $q^2-1$ vectores no nulos en $U$, y estos se dividen en $(q^2-1)/(q-1)=q+1$ clases de equivalencia. Así, la línea $L_U$ tienen $q+1$ "puntos".

Continuando con el ejemplo con $F=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ vemos que, si $U$ es el lapso de los dos (linealmente independientes) vectores $x=(1,2,1)$$y=(0,1,2)$, entonces el no-cero puntos en $U$ $x,2x=(2,1,2)$ (tanto en $P_6$), $y,2y=(0,2,1)$ (tanto en $P_3$), $x+y=(1,0,0)$, $2x+2y=(2,0,0)$ (en $P_{13}$), $x+2y=(1,1,2)$ y $2x+y=(2,2,1)$ ( $P_9$ ). Como se prometió, estos cayeron en cuatro clases de equivalencia, y por lo tanto $$ L_U=\{P_6,P_3,P_{13},P_9\}.$$

Usted puede hacer lo mismo de construcción de todos los $13$ 2 dimensiones de los subespacios de $F^3$, y terminar con $13$ líneas de cuatro puntos en cada uno. El trabajo de algunos de aquellos a mano para ganar algo de fluidez.

La característica propiedades combinatorias de esta construcción son: 1) cualquier par de líneas se cruza en exactamente un punto, 2) dados dos puntos cualesquiera no hay una única línea que los contiene. Estos, a continuación, siga a partir de los resultados de álgebra lineal: 1) cualquiera de los dos 2-dimensiones de los subespacios de $F^3$ se cruzan en un 1-dimensional en el subespacio, 2) cualquiera de los dos 1-dimensiones de los subespacios de $F^3$ de intervalo de un único 2-dimensional en el subespacio.

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Espero que esto aclare algunas de la niebla.

Answer 2

¿Esta ayuda?

Sea F un campo. Tenemos en cuenta las tres dimensiones de espacio vectorial sobre F. Permita que los subespacios de dimensión 1 puntos. Deje que los subespacios de dimensión 2 líneas. La incidencia de la relación es subconjunto de inclusión (es decir, si un punto es un subconjunto de una línea, es decir, el punto está en la línea.)

Estas definiciones satisfacer los axiomas de un plano proyectivo. Usted debe ser capaz de recuperar el plano de Fano mediante la aplicación de este procedimiento con el campo, con dos elementos.

Answer 3

El plano de Fano con 7 puntos se construye comenzando con el campo que consta de 2 elementos. Ver plano de Fano.

Lo que parece estar pidiendo es una *explicación" de la intuición detrás de la construcción del plano proyectivo. Aquí sería conveniente comenzar con una construcción diferente el uso de "puntos en el infinito". Este fue, de hecho, históricamente, la primera construcción de la proyectiva del plano (el de la construcción el uso de coordenadas homogéneas en $\mathbb{R}^3$ vino más tarde).

Brevemente, lo que quiero hacer es empezar con la habitual avión, y añadir "puntos en el infinito". No va a ser un punto separado al infinito para cada uno de los "dirección" en el avión. Definir el concepto de "dirección", rigurosamente, el enfoque usual es tomar un lápiz (es decir, un conjunto) de las líneas paralelas. Cada lápiz define una "dirección". La parte sobre "agregar" puntos en el infinito significa que no va a ser un punto extra en cada línea (es decir, el correspondiente a la "dirección" de la línea). Los detalles se pueden encontrar por ejemplo en el libro sobre geometría proyectiva por Hartshorne.