cuándo podemos intercambiar integración y diferenciación

Question

Sea $f$ sea una función integrable de Riemann sobre $\mathbb{R}^2$ . ¿Cuándo podemos hacerlo?

$$\frac{\partial}{\partial\theta}\int_{a}^{b}f(x,\theta)dx=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial\theta}f(x,\theta)dx$$

(Aquí, $a$ y $b$ no son función de $\theta$ .)

En el problema, que estoy resolviendo recientemente, son así:

$f_{\theta}(x)$ Aquí $\theta$ es constante y $\theta\in\mathbb{R}$ (normalmente). Por ejemplo $f_{\theta}(x)=x^2\theta$ . Así que estoy intercambiando ciegamente integración y diferenciación por continuidad sobre $\theta$ . Pero quiero saber un poco más.

Además, ¿qué ocurre si $a$ y $b$ son función de $\theta$ ? Gracias.

Answer 1

Puede intercambiar integración y diferenciación precisamente cuando Leibniz dice que puedes. En su notación, para integrales de Riemann: cuando $f$ y $\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}$ son continuas en $x$ y $t$ (ambos) en una vecindad abierta de $\{x\} \times [a,b]$ .

Hay un declaración similar para integrales de Lebesgue.