Esta es probablemente la prueba más larga que he escrito. Pero la idea es simple, y es más o menos copiar y pegar en las diferentes direcciones. Estoy bastante seguro de esta vez y me preguntaba si tengo alguna laguna de la lógica o inexactitudes ya que sólo hemos empezado a practicar la continuidad de la semana pasada.. También sobre la pregunta a, ¡no consigo encontrar dicha función! ¿Alguien me puede dar una dirección?
b.
Lo separaremos en casos.
Caso 1 : $f\left(x\right)\ =\ L$ para cada $x R$ . En este caso cada punto es un punto extremo ya que $f(x)$ es constante.
Caso 2 : Existe $a R$ tal que $f\left(a\right)\ >\ L$ .
Por definición del límite f en $$ elegimos $\ =\ f\left(a\right)\ -\ L$ para las que existe $M_{1}>0$ tal que para cada $x>M_{1}$ tenemos $\left|f\left(x\right)-L\right|<f\left(a\right)-L$ .
$\ 2L-f\left(a\right)<f\left(x\right)<f\left(a\right)$ $f\left(x\right)<f\left(a\right)$ .
Tenga en cuenta que $aM_{1}$ ya que para cada $x>M_{1}$ tenemos $f\left(x\right)<f\left(a\right)$ .
Por definición del límite f en $-$ elegimos $\ =\ f\left(a\right)\ -\ L$ para las que existe $M_{2}<0$ tal que para cada $x<M_{2}$ tenemos $\left|f\left(x\right)-L\right|<f\left(a\right)-L$ .
$\ 2L-f\left(a\right)<f\left(x\right)<f\left(a\right)$ $f\left(x\right)<f\left(a\right)$ .
Tenga en cuenta que $aM_{2}$ ya que para cada $x<M_{2}$ tenemos $f\left(x\right)<f\left(a\right)$ .
Dado que f es continua en R, en particular, es continua en $[M_{2},M_{1}]$ . Entonces por el Teorema de Weierstrass existen $k[M_{2},M_{1}]$ tal que $f\left(k\right)\ge f\left(x\right)$ para cada $x[M_{2},M_{1}]$ .
Desde $f\left(k\right)\ge f\left(a\right)$ en $[M_{2},M_{1}]$ y $f\left(a\right)\ >\ f\left(x\right)$ para cada $x$ en $(-,M_{2}),(M_{1},)$ entonces $f\left(k\right)\ \ge\ f\left(x\right)$ para cada $xR$ y, por definición, un punto extremo de $f$ .
Caso 3 : Existe $b R$ tal que $f\left(b\right)\ <\ L$ .
Por definición del límite f en $$ elegimos $\ =L\ -\ f\left(b\right)$ para las que existe $M_{1}>0$ tal que para cada $x>M_{1}$ tenemos $\left|f\left(x\right)-L\right|<L\ -\ f\left(b\right)$ $f\left(b\right)\ <\ f\left(x\right)$ .
Tenga en cuenta que $bM_{1}$ ya que para cada $x>M_{1}$ tenemos $f\left(x\right)>f\left(b\right)$ .
Por definición del límite f en $-$ elegimos $\ =L\ -\ f\left(b\right)$ para las que existe $M_{2}<0$ tal que para cada $x<M_{2}$ tenemos $\left|f\left(x\right)-L\right|<L\ -\ f\left(b\right)$ $f\left(b\right)\ <\ f\left(x\right)$ .
Tenga en cuenta que $bM_{2}$ ya que para cada $x<M_{2}$ tenemos $f\left(x\right)>f\left(b\right)$ .
Dado que f es continua en R, en particular, es continua en $[M_{2},M_{1}]$ . Entonces por el Teorema de Weierstrass existen $s[M_{2},M_{1}]$ tal que $f\left(s\right)\le f\left(x\right)$ para cada $x[M_{2},M_{1}]$ .
Desde $f\left(s\right)\le f\left(b\right)$ en $[M_{2},M_{1}]$ y $f\left(b\right)\ <\ f\left(x\right)$ para cada $x$ en $(-,M_{2}),(M_{1},)$ entonces $f\left(s\right)\ \le\ f\left(x\right)$ para cada $xR$ y, por definición, un punto extremo de $f$ .
En conclusión, hemos demostrado que f debe tener un punto extremo.
