¿Es $T_n(R) \cong T_n(R)^{op}$?

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Sea $R$ un anillo conmutativo, y $T_n(R)$ sea el anillo de matrices triangulares superiores de $n \times n$. ¿Es $T_n(R) \cong T_n(R)^{op}$?

Ya he demostrado que $M_n(R)^{op} \cong M_n(R^{op})$ (independientemente de si $R$ es conmutativo), mapeando $A \mapsto A^t$ (la traspuesta).

Mi pensamiento es que dado que $T_n(R) \subset M_n(R)$ y $M_n(R)^{op} \cong M_n(R^{op})$, entonces tendremos $T_n(R)^{op} \cong T_n(R^{op})$. Luego, como $R$ es conmutativo, $R^{op} \cong R$. Por lo tanto, obtenemos: $T_n(R^{op}) \cong T_n(R)$, lo cual daría el resultado.

No estoy seguro de que esto sea correcto, sin embargo, porque:

-No puedo construir un isomorfismo explícito,

-El isomorfismo en matrices mapea una matriz a su traspuesta. Este mapeo no envía matrices triangulares superiores a matrices triangulares superiores, lo cual me hace dudar de que mi lógica sea correcta. (Aunque si las matrices triangulares superiores son isomorfas a las matrices triangulares inferiores, supongo que está bien?)

-Parece un poco demasiado fácil en comparación con otras preguntas que me han sido asignadas. :P

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada! :)

Answer 1

Creo que el automorfismo es $(a_{ij}) \mapsto (b_{ij})$ donde $$b_{ij} = a_{(n-j+1),(n-i+1)}$$ correspondiendo al intercambio de entradas de manera simétrica con respecto a la 'otra diagonal' de la matriz (no la diagonal usual, sino la otra).

Luego las filas se convierten en columnas y viceversa, se preserva la triangularidad superior y se preservan los productos fila por columna.

Por ejemplo, en el caso $2 \times 2$ tenemos $$\left( \begin{matrix} a &b \\ 0&c \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} A &B \\ 0&C \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} aA &aB+bC \\ 0&cC \end{matrix} \right)$$ y $$\left( \begin{matrix} C &B \\ 0&A \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} c &b \\ 0&a \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} cC &aB+bC \\ 0&aA \end{matrix} \right)$$