cómo evaluar numéricamente $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x!} dx$

Question

Así que estaba graficando la ecuación $y=\frac{1}{x!}$ para $x \geq 0$ y probé la integral:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x!} dx$$ $$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(x+1)} dx$$ $$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\int_{0}^{\infty} {z}^{x} e^{-z} dz} dx$$

Y no sé qué hacer con esto así que pensé que puedo hacer una suma de Riemann que hice en Python:

import math

def riemann_sum(a, b):
    s = 0
    n = 100000 # n -> inf
    for i in range(n):
        d_x = (b-a)/n
        x_i = a+(d_x*i)
        fx_i = 1/math.gamma(x_i+1)
        s += fx_i*d_x
    return s

a = riemann_sum(0, 170) # b->inf
print(a)

2.2673843686870416
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¿Hay más información al respecto, sirve de algo esta constante, he hecho algo mal? Sólo un poco de orientación y discusión gracias.

$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x!} dx \approx 2.2673843686870416$$

Answer 1

Un buen argumento en integración de contornos muestra que $$\int_0^\infty\dfrac{dx}{\Gamma(x+1)}=e-\int_0^\infty\dfrac{e^{-t}}{t(\log^2(t)+\pi^2)}\,dt$$ y $$\int_0^\infty\dfrac{dx}{\Gamma(x)}=e+\int_0^\infty\dfrac{e^{-t}}{\log^2(t)+\pi^2}\,dt\;.$$ Existen expresiones similares en las que $1/\Gamma$ se sustituye por $a^x/\Gamma$ para el parámetro $a$ . Y como afirma Carlo Beenakker, la primera integral es

2.26653450769984883507196385767822...

Answer 2

A partir de la definición de función Gamma,

$\frac{1}{\Gamma(x+1)}=\lim\limits_{n \to \infty} (n-1)^{-x-1}\frac{(x+1)(x+2)...(x+n)}{(n-1)!}$

Ahora, ampliando $(x+1)(x+2)...(x+n)=\sum_{r=0}^{n} a_r x^{r}$

Dónde, $a_r=\text{sum of the products of n-r distinct elements}$ Por ejemplo $a_n=1, a_0=n!, a_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Usando esto obtenemos,

$\frac{1}{\Gamma(x+1)}=\frac{1}{(n-1).(n-1)!}\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{r=0}^{n} a_r x^r e^{-x\log (n-1)}$

Por lo tanto, $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\Gamma(x+1)}$ es igual a

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{(n-1).(n-1)!} (\sum_{r=0}^{n} \frac{a_r}{\alpha^{r+1}}\int_{0}^{\infty} (x\alpha)^r e^{-x\alpha} d(x\alpha)\right)$$

(Dónde $\alpha=\log(n-1)$ )

$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n!} (\sum_{r=0}^{n} \frac{a_r}{(\log(n-1))^{r+1}}\Gamma(r+1))$

$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n!} \sum_{r=0}^{n} \frac{a_r r!}{(\log(n))^{r+1}}$

Answer 3

def AA(a, b):
    s=0
    for i in range(1,int(n/2)):
        d_x = (b-a)/n
        x_i = a+(d_x*i)
        fx_i = 1/math.gamma(x_i)
        s += fx_i*d_x
    return s

https://en.wikipedia.org/wiki/Frans%C3%A9n%E2%80%93Robinson_constant